Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Modulo 7/Aufgabe

Wir betrachten das Polynom ${}F=X^{3}-3X+1$ über ${}\mathbb {Z} /(7)$.

1. Zeige, dass ${}F$ ein irreduzibles Polynom in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ ist.
2. Es sei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Berechne ${}x^{7}$ und ${}x^{49}$.
3. Zeige, dass ${}x$ in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$ eine dritte Wurzel besitzt.

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