Zahlbereich/X^3-3X+1/Gitterrealisierung/Beispiel

Die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-3X+1)=K$ ist eine Galoiserweiterung, wenn ${}\alpha \in \mathbb {R}$ eine Nullstelle von ${}X^{3}-3X+1$, so sind auch ${}\beta =\alpha ^{2}-2$ und ${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2$ Nullstellen, siehe Aufgabe. Die Galoisgruppe permutiert diese Nullstellen. Der Automorphismus, der ${}\alpha$ auf ${}\alpha ^{2}-2$ abbildet, schickt ${}\alpha ^{2}$ auf

${}{\left(\alpha ^{2}-2\right)}^{2}=\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+4=3\alpha ^{2}-\alpha -4\alpha ^{2}+4=-\alpha ^{2}-\alpha +4\,.$

Wegen

${}R=\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \alpha +\mathbb {Z} \alpha ^{2}\,$

wird die gesamte Gitterabbildung durch

$R\cong \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,a+b\alpha +c\alpha ^{2}\longmapsto {\begin{pmatrix}a+b\alpha +c\alpha ^{2}\\a+b(\alpha ^{2}-2)+c(-\alpha ^{2}-\alpha +4)\\a+b(-\alpha ^{2}-\alpha +2)+c(\alpha +2)\end{pmatrix}},$

gegeben. Die Basis ${}1,\alpha ,\alpha ^{2}$ wird auf die Gitterbasis

${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha \\\alpha ^{2}-2\\-\alpha ^{2}-\alpha +4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}\\-\alpha ^{2}-\alpha +4\\\alpha +2\end{pmatrix}}$

abgebildet.

Wenn man ${}1,\alpha ,\beta$ als Ganzheitsbasis nimmt, so wird die Abbildung durch

$R\cong \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,a+b\alpha +d\beta \longmapsto {\begin{pmatrix}a+b\alpha +d\beta \\a+b\beta +d(-\alpha -\beta )\\a+b(-\alpha -\beta )+d\alpha \end{pmatrix}},$

beschrieben. Diese Basis wird dann auf die Gitterbasis

${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\-\alpha -\beta \end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\beta \\-\alpha -\beta \\\alpha \end{pmatrix}}$

abgebildet.