Zahlbereich/pte Wurzel aus q/Faserringe/Beschreibung/Beispiel

Es seien ${}p,q$ verschiedene Primzahlen und ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-q)$. Für eine Primzahl ${}r\neq p,q$ ist der Faserring über ${}(r)$ gleich ${}\mathbb {Z} /(r)[X]/(X^{p}-q)$. Da ${}p$ und ${}q$ Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(r)$ sind, gilt

${}(X^{p}-q,pX^{p-1})=(X^{p}-q,X^{p-1})=(q,X^{p-1})=(q)=1\,$

in ${}\mathbb {Z} /(r)[X]$, d.h. ${}X^{p}-q$ und die Ableitung ${}pX^{p-1}$ sind teilerfremd in ${}\mathbb {Z} /(r)[X]$ und daher ist nach Fakt ${}\mathbb {Z} _{r}[X]/(X^{p}-q)$ normal und die Verzweigungsordnung von

$\mathbb {Z} _{(r)}\longrightarrow R_{\mathfrak {r}},$

wobei ${}{\mathfrak {r}}$ ein Primideal oberhalb von ${}(r)$ bezeichnet, ist gleich ${}1$.

Für ${}r=q$ ist das einzige Primideal oberhalb von ${}(q)$ das Hauptideal ${}(X)$, die Verzweigungsordnung in ${}q$ ist gleich ${}p$.

Für ${}r=p$ ist der Faserring gleich

${}\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{p}-q)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(X-q)^{p}\,.$

Das einzige Primideal oberhalb von ${}(p)$ ist also ${}(X-q,p)$, was im Allgemeinen kein Hauptideal ist. Der Ring ${}R$ ist im Allgemeinen nicht der ganze Abschluss, wobei die Singularität oberhalb von ${}(p)$ liegt.