Zahlen/1 bis 10/5 Zahlen/Keine Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe/Lösung

Wir zählen, wie viele fünfelementige Teilmengen es von ${}\{1,\ldots ,10\}$ gibt, in denen es keine Teilbarkeitsbeziehung gibt. Wir gehen die Teilmengen entlang ihres minimalen Elementes durch.

Da die ${}1$ jede Zahl teilt, darf die ${}1$ in der Auswahl nicht vorkommen.

Wenn die ${}2$ (als minimales Element) vorkommt, so darf keine weitere gerade Zahl vorkommen. Dann müssen die anderen Zahlen ${}3,5,7,9$ sein, doch ${}3$ teilt ${}9$. Es gibt also keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.

Wenn die ${}3$ (als minimales Element) vorkommt, so darf weder die ${}6$ noch die ${}9$ vorkommen. Es verbleiben ${}\{4,5,7,8,10\}$. Da es darin zwei Teilbarkeitsbeziehungen gibt, gibt es keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.

Wenn die ${}4$ (als minimales Element) vorkommt, so darf die ${}8$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit ${}\{4,5,6,7,9\}$ und ${}\{4,6,7,9,10\}$.

Wenn die ${}5$ (als minimales Element) vorkommt, so darf die ${}10$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit ${}\{5,6,7,8,9\}$.

Wenn die ${}6$ (als minimales Element) vorkommt, so ergibt dies die Möglichkeit ${}\{6,7,8,9,10\}$.

Es gibt also insgesamt ${}4$ mögliche Auswahlen, die die Bedingung erfüllen. Insgesamt gibt es

${}{\binom {10}{5}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=9\cdot 4\cdot 7=252\,$

Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich

${}{\frac {4}{252}}={\frac {1}{63}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe