Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

Wegen

$v-v=0\in U$

ist  $v\sim v$,  die Relation ist also reflexiv. Es sei nun  $v\sim u$.  Dies bedeutet

$v-u\in U.$

Somit ist auch

$u-v=-(v-u)\in U$

und damit ist auch  $u\sim v$,  was die Symmetrie bedeutet. Es sei schließlich  $u\sim v$  und  $v\sim w$.  Dies bedeutet

$u-v\in U$

und

$v-w\in U.$

Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit

$(u-v)+(v-w)=u-w\in U,$

was  $u=w$ 

bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.

Zur gelösten Aufgabe