Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

Wegen

${}v-v=0\in U\,$

ist ${}v\sim v$, die Relation ist also reflexiv. Es sei nun ${}v\sim u$. Dies bedeutet

${}v-u\in U\,.$

Somit ist auch

${}u-v=-(v-u)\in U\,$

und damit ist auch ${}u\sim v$, was die Symmetrie bedeutet. Es sei schließlich ${}u\sim v$ und ${}v\sim w$. Dies bedeutet

${}u-v\in U\,$

und

${}v-w\in U\,.$

Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit

${}(u-v)+(v-w)=u-w\in U\,,$

was ${}u=w$

bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.

Zur gelösten Aufgabe