Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Multiplikativ/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}f,g$ multiplikativ und es seien ${}m,n$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zu einer Faktorzerlegung

${}de=mn\,$

gibt es aufgrund der Teilerfremdheit eine eindeutige Aufspaltung  ${}d=ru$  und  ${}e=sv$  mit ${}r,u$ und ${}s,v$ teilerfremd und mit  ${}rs=m$  und  ${}uv=n$.  Daher ist

${}{\begin{aligned}(f*g)(m\cdot n)&=\sum _{d\cdot e=m\cdot n}f(d)g(e)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(ru)g(sv)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(r)f(u)g(s)g(v)\\&={\left(\sum _{r\cdot s=m}f(r)g(s)\right)}\cdot {\left(\sum _{u\cdot v=n}f(u)g(v)\right)}\\&=(f*g)(m)\cdot (f*g)(n),\end{aligned}}$

also ist auch ${}f*g$ multiplikativ.

Zur bewiesenen Aussage