Zahlentheoretische Funktionen/Teilersumme/Multiplikativität/Fakt/Beweis

Beweis

Bei zwei teilerfremden Zahlen ${}n$ und ${}m$ hat jeder positive Teiler ${}t$ des Produkts ${}nm$ die eindeutige Form ${}t=ab$, wobei ${}a$ ein Teiler von ${}n$ und ${}b$ ein Teiler von ${}m$ ist. Also gilt

${}\sigma (nm)=\sum _{t{|}mn}t=\sum _{a{|}m{\mbox{ und }}b{|}n}ab={\left(\sum _{a{|}n}a\right)}{\left(\sum _{b{|}m}b\right)}=\sigma (n)\sigma (m)\,.$

Zur bewiesenen Aussage