Zahlentheorie/Mersenne Zahl ist 2 quasiprim/Aufgabe/Lösung

Wir haben zu zeigen, dass für ${}m=2^{p}-1$ gilt: ${}2^{m-1}=1$ modulo ${}m$. Es ist ${}2^{p}=2$ modulo ${}p$ nach dem kleinen Fermat. Damit ist ${}m-1=2^{p}-2=0$ modulo ${}p$. Also ist ${}m-1$ ein Vielfaches von ${}p$, sagen wir ${}m-1=ap$. Wegen ${}2^{p}=1$ modulo ${}m$ gilt dann ${}2^{m-1}=(2^{p})^{a}=1$ modulo ${}m$.

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