Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste Stufe/Axiom

Die Peano-Axiome für die Nachfolgerfunktion in der ersten Stufe werden (in der Sprache ${}L$ zur Symbolmenge mit einer Konstanten ${}0$ und einem einstelligen Funktionssymbol ${}N$) folgendermaßen definiert.

1. ${}\forall x(\neg (Nx=0))$.
2. ${}\forall x\forall y((Nx=Ny)\rightarrow (x=y))$.
3. Für jeden Ausdruck ${}\alpha$ von ${}L$ mit einer freien Variablen ${}x$ gilt

   $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {Nx}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$