Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom

Die Peano-Axiome für Addition und Multiplikation in der ersten Stufe werden (in der Sprache $L^{\mathrm{A}\mathrm{r}}$ zur Symbolmenge mit den beiden Konstanten $0$ und $1$ und zwei zweistelligen Funktionssymbolen $+$ und $\cdot$) folgendermaßen definiert.

1. $\mathrm{\forall }x(\mathrm{\neg }(x+1=0))$.
2. $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y((x+1=y+1)\to (x=y))$.
3. $\mathrm{\forall }x(x+0=x)$.
4. $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(x+(y+1)=(x+y)+1))$.
5. $\mathrm{\forall }x(x\cdot 0=0)$.
6. $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(x\cdot (y+1)=(x\cdot y)+x)$.
7. Für jeden Ausdruck $\alpha$ von $L^{Ar}$ mit einer freien Variablen $x$ gilt

   $\alpha \frac{0}{x}\wedge \mathrm{\forall }x(\alpha \to \alpha \frac{x+1}{x})\to \mathrm{\forall }x\alpha .$