Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom

Die Peano-Axiome für Addition und Multiplikation in der ersten Stufe werden (in der Sprache ${}L^{\rm {Ar}}$ zur Symbolmenge mit den beiden Konstanten ${}0$ und ${}1$ und zwei zweistelligen Funktionssymbolen ${}+$ und ${}\cdot$) folgendermaßen definiert.

1. ${}\forall x(\neg (x+1=0))$.
2. ${}\forall x\forall y((x+1=y+1)\rightarrow (x=y))$.
3. ${}\forall x(x+0=x)$.
4. ${}\forall x\forall y(x+(y+1)=(x+y)+1))$.
5. ${}\forall x(x\cdot 0=0)$.
6. ${}\forall x\forall y(x\cdot (y+1)=(x\cdot y)+x)$.
7. Für jeden Ausdruck ${}\alpha$ von ${}L^{Ar}$ mit einer freien Variablen ${}x$ gilt

   $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x+1}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$