Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt

Es seien ${}n$ und ${}m$ positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen ${}n=\prod _{p}p^{\exp _{p}(n)}$ und ${}m=\prod _{p}p^{\exp _{p}(m)}$.

Dann ist

${}\operatorname {kgV} (n,m)=\prod _{p}p^{\max {\left({\exp _{p}(n)},{\exp _{p}(m)}\right)}}\,$

und

${}\operatorname {ggT} (n,m)=\prod _{p}p^{\min {\left({\exp _{p}(n)},{\exp _{p}(m)}\right)}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen