Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Legendres Identität/Fakt mit Beweisklappe

Legendres Identität

Für eine Primzahl ${}p$ und eine natürliche Zahl ${}n$ ist

${}\nu _{p}(n!)=\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots \,.$

Beweis

Hierzu muss man einfach zählen, wie viele der Zahlen zwischen ${}1$ und ${}n$ Vielfache von ${}p$, wie viele Vielfache von ${}p^{2}$ etc. sind. Das ergibt genau die Summe rechts.

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