Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt/Beweis

Beweis

Im Fall ${}D=2,3\mod 4$ ist nach Fakt ${}A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)$ und daher bilden ${}1$ und ${}X$ eine Ganzheitsbasis. Die möglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise

${\begin{pmatrix}1&X\\X&D\end{pmatrix}}.$

Wendet man darauf komponentenweise die Spur an so erhält man

${\begin{pmatrix}2&0\\0&2D\end{pmatrix}}$

und die Determinante davon ist ${}4D$.

Im Fall ${}D=1\mod 4$ ist hingegen

${}A_{D}=\mathbb {Z} [\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,$

und eine Ganzheitsbasis ist ${}1$ und ${}\omega$. Die Matrix der Basisprodukte ist dann

${\begin{pmatrix}1&\omega \\\omega &\omega +{\frac {D-1}{4}}\end{pmatrix}}.$

Wendet man darauf die Spur an (die Spur von ${}\omega$ ist ${}1$), so erhält man

${\begin{pmatrix}2&1\\1&1+{\frac {D-1}{2}}\end{pmatrix}}$

und die Determinante davon ist

${}2{\left(1+{\frac {D-1}{2}}\right)}-1=2+D-1-1=D\,.$

Zur bewiesenen Aussage