Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Verfahren/13/Beispiel

Es sei ${}p=13$ (man sieht natürlich sofort eine Darstellung). Mit dem oben beschriebenen Verfahren müsste man wie folgt vorgehen:

In ${}\mathbb {Z} /(13)$ ist ${}5^{2}=25=-1$, also kann man ${}a=5$ nehmen. Dies führt zum Ideal ${}(13,5-{\mathrm {i} })$.

Division in ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ liefert

${}{\frac {13}{5-{\mathrm {i} }}}={\frac {13(5+{\mathrm {i} })}{(5-{\mathrm {i} })(5+{\mathrm {i} })}}={\frac {65+13{\mathrm {i} }}{26}}\,$

und ${}2$ ist eine beste Approximation in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Damit ist die Division mit Rest

${}13=2\cdot (5-{\mathrm {i} })+r\,$

mit ${}r=3+2{\mathrm {i} }$. Die nächste durchzuführende Division liefert

${}{\frac {5-{\mathrm {i} }}{3+2{\mathrm {i} }}}={\frac {(5-{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })}{13}}={\frac {13-13{\mathrm {i} }}{13}}=1-{\mathrm {i} }\,.$

Damit ist also ${}5-{\mathrm {i} }=(1-{\mathrm {i} })(3+2{\mathrm {i} })$ und somit ist ${}3+2{\mathrm {i} }$ ein Erzeuger des Ideals.