Zahlentheorie/p-Bewertung/Aufgabe

Es sei $p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl  $n\ne 0$  bezeichne ${\nu }_p(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${\nu }_p:\mathbb{Z}\setminus \{0\}\to \mathbb{N}$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt  ${\nu }_p(nm)={\nu }_p(n)+{\nu }_p(m)$. 

c) Finde eine Fortsetzung ${\nu }_p:\mathbb{Q}\setminus \{0\}\to \mathbb{Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${\mathbb{Q}}^{\times }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und $\mathbb{Z}$ mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.

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