Zahlkörper/Automorphismus/Exponentielle Unabhängigkeit/Bemerkung

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Zu einem Körperautomorphismus der Ordnung auf einer endlichen Körpererweiterung mit einer reellen Einbettung und einem Element mit

sind und exponentiell unabhängig, d.h. es besteht keine Relation der Form

mit . Aus

mit einem positiven rationalen Exponenten folgt ja

woraus sich wegen der reellen Einbettung ergibt, was ausgeschlossen ist. Daher sind auch die Logarithmen der Beträge von und linear unabhängig über . Wenn die Einheitengruppe den Rang besitzt, so muss bei rein reellen Erweiterungen zwischen den Einheiten und bis auf das Vorzeichen eine exponentielle Relation bestehen. Im reell-quadratischen Fall sind in der Tat für eine Einheit wegen

die beiden zueinander konjugierten Elemente auch bis eventuell auf das Vorzeichen zueinander invers.