Zahlkörper/Automorphismus/Exponentielle Unabhängigkeit/Bemerkung

Zu einem Körperautomorphismus ${}\varphi$ der Ordnung ${}k\neq 1,2$ auf einer endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ mit einer reellen Einbettung ${}K\subseteq \mathbb {R}$ und einem Element ${}\alpha \in K$ mit

${}\varphi (\alpha )\neq \pm \alpha \,$

sind ${}\alpha$ und ${}\varphi (\alpha )$ exponentiell unabhängig, d.h. es besteht keine Relation der Form

${}\alpha ^{m}=\varphi (\alpha )^{n}\,$

mit ${}(m,n)\neq (0,0)$. Aus

${}\varphi (\alpha )=\alpha ^{q}\,$

mit einem positiven rationalen Exponenten ${}q={\frac {m}{n}}$ folgt ja

${}\alpha =\varphi ^{k}(\alpha )=\alpha ^{q^{k}}\,,$

woraus sich wegen der reellen Einbettung ${}q^{k}=1$ ergibt, was ausgeschlossen ist. Daher sind auch die Logarithmen der Beträge von ${}\alpha$ und ${}\varphi (\alpha )$ linear unabhängig über ${}\mathbb {Q}$. Wenn die Einheitengruppe den Rang ${}1$ besitzt, so muss bei rein reellen Erweiterungen zwischen den Einheiten ${}\alpha$ und ${}\varphi (\alpha )$ bis auf das Vorzeichen eine exponentielle Relation bestehen. Im reell-quadratischen Fall sind in der Tat für eine Einheit ${}a+b{\sqrt {D}}$ wegen

${}(a+b{\sqrt {D}})(a-b{\sqrt {D}})=a^{2}-b^{2}D=\pm 1\,$

die beiden zueinander konjugierten Elemente auch bis eventuell auf das Vorzeichen zueinander invers.