Zariski-Filter/Gerade in affiner Ebene/Generisch, Umgebung, Asymptotisch/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, wir betrachten die affine Ebene ${𝔸}_K^2$ zusammen mit der $x$-Achse

$V=V(y).$

Zeige, dass die folgende Menge ein saturiertes multiplikatives System ist.

$S=\{f\in K[X,Y]\mid \text{In der homogenen Komponente }{f}_{\mathrm{deg}(f)}\text{ kommt }{x}^{\mathrm{deg}(f)}\text{ vor}\}.$

Skizziere die Nullstellenmenge von einigen Polynomen, die oder die nicht zu $S$ gehören.

Es sei $F$ der zugehörige topologische Filter. Vergleiche $F$ mit dem Umgebungsfilter zu $V$ und dem generischen Filter zu $V$.

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