Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt/Beweis2

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Beweis

Die beiden Zahlen seien

wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen ein schrittweises Invarianzprinzip des schriftlichen Addierens, nämlich, dass nach dem -ten Schritt (), wenn die hinteren Ziffern und die Übertragsziffern schon berechnet sind, dass dann die jeweilige Summe

konstant ist (also nicht von abhängt), und zwar gleich . Diese Summen beschreiben eine Momentaufnahme des Algorithmus zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei bedeutet der Schritt , dass noch keine Rechnung durchgeführt wurde. Am Anfang, bei , sind die beiden hinteren Summanden nicht vorhanden und vorne stehen und komplett, die Summe ist also . Die Konstanz der Summen beweisen wir durch Induktion nach , wobei wir den Fall

soeben behandelt haben. Sei nun die Konstanz

bereits bewiesen, und wir verarbeiten die -Stelle. Gemäß dem Algorithmus addiert man

und schreibt dies als

mit Somit ist

Wenn man in der Summe die linke Seite der vorstehenden Gleichung durch die rechte Seite ersetzt, so erhält man gerade , was die Gleichheit zeigt. Wenn man hinreichend groß nimmt, hat man und verbraucht und die Summe besteht dann allein aus der durch die Ziffern gebildeten Zahl. Dies stimmt also mit der Summe überein.

Zur bewiesenen Aussage