Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Übertrag/Abschätzung/Fakt/Beweis

Beweis

Der andere Faktor sei durch die Zifferndarstellung ${}a_{k}a_{k-1}\cdots a_{2}a_{2}a_{0}$ gegeben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Ziffernindex ${}i$. Der Induktionsanfang ist klar. Es sei nun vorausgesetzt, dass der Übertrag ${}d_{i}$, der von der ${}(i-1)$-ten Stelle herrührt, ${}<b$ ist. Der folgende Übertrag ${}d_{i+1}$ ist durch die Division mit Rest somit ist

${}a_{i}b+d_{i}=10d_{i+1}+c_{i}\,$

festgelegt. Für die ${}i$-te Ziffer gilt ${}a_{i}\leq 9$ und somit ist

${}a_{i}b+d_{i}\leq 9b+d_{i}<9b+b=10b\,.$

Daher ist ${}d_{i+1}<b$.

Zur bewiesenen Aussage