Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt/Beweis

Beweis

Die beiden Zahlen seien

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell }10^{\ell }.$

Beim schriftlichen Multiplizieren berechnet man unabhängig voneinander

$a_{k}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}\,\,\cdot \,\,b_{j}$

für ${}j=0,1,\ldots ,\ell$ und notiert das Ergebnis so, dass die Einerziffer unterhalb von ${}b_{j}$ steht. So entstehen ${}\ell +1$ Zahlen, die versetzt übereinander stehen. Diese Zahlen werden nach hinten mit Nullen aufgefüllt (wobei man dies nur gedanklich machen muss). Die Summe dieser Zahlen im Sinne des schriftlichen Addierens ist das Endergebnis

${}{\begin{aligned}m\cdot n&=m\cdot {\left(b_{\ell }10^{\ell }+b_{\ell -1}10^{\ell -1}+\cdots +b_{2}10^{2}+b_{1}10+b_{0}\right)}\\&=m\cdot b_{\ell }10^{\ell }+mb_{\ell -1}\cdot 10^{\ell -1}+\cdots +m\cdot b_{2}10^{2}+m\cdot b_{1}10+m\cdot b_{0}.\end{aligned}}$

Nach Fakt werden die ${}m\cdot b_{j}$ im schriftlichen Multiplizieren korrekt ausgerechnet. Dadurch, dass die Einzelergebnisse unterhalb von ${}b_{j}$ stehen und nach hinten mit Nullen aufgefüllt werden, stehen im Algorithmus wegen Fakt die Zahlen ${}m\cdot b_{j}10^{j}$ korrekt übereinander, so dass das schriftliche Addieren nach Fakt das korrekte Ergebnis liefert.

Zur bewiesenen Aussage