Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}$

und

${}m\geq n\,.$

Wir behaupten, dass für jedes ${}i=-1,0,1,\ldots ,k$ der Ausdruck

$S_{i}=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}10^{i+1}+b_{i}10^{i}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\,$

konstant gleich ${}m$ ist. Für

${}i=-1\,$

fehlen die ${}b$-, die ${}c$- und die ${}d$-Ausdrücke, sodass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von ${}S_{i-1}$ nach ${}S_{i}$, was dem ${}i$-ten Rechenschritt entspricht. Im Fall

${}a_{i}\geq b_{i}+d_{i}\,$

ist ${}d_{i+1}=0$, ${}a_{i}-d_{i}=b_{i}+c_{i}$ und somit

${}{\begin{aligned}S_{i-1}&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}+(b_{i}+c_{i})10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}10^{i+1}+b_{i}10^{i}+\cdots +b_{1}10+b_{0}c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=S_{i}.\,\end{aligned}}$

Im Fall

${}a_{i}<b_{i}+d_{i}\,$

ist ${}d_{i+1}=1$, ${}a_{i}=b_{i}+c_{i}+d_{i}-10$ und somit

${}{\begin{aligned}S_{i-1}&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}+{\left(b_{i}+c_{i}+d_{i}-10\right)}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-10\cdot 10^{i}+b_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}\cdot 10^{i+1}+b_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=S_{i}.\,\end{aligned}}$

Für ${}i=k$ sind die ${}a$- und die ${}d$-Ausdrücke vollständig abgebaut (${}d_{k+1}=0$) und es bleiben die vollständigen ${}b$- und ${}c$-Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass

${}m=b_{k}10^{k}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}=n+c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\,$

ist und somit ist ${}c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}$ gleich der Differenz ${}m-n$.

Zur bewiesenen Aussage