Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

m = a_{0} + a_{1} 10 + a_{2} 1 0^{2} + \dots + a_{k} 1 0^{k} und n = b_{0} + b_{1} 10 + b_{2} 1 0^{2} + \dots + b_{k} 1 0^{k}

und

m \geq n .

Wir behaupten, dass für jedes $i = - 1, 0, 1, \dots, k$ der Ausdruck

S_{i} = a_{k} 1 0^{k} + \dots + a_{i + 1} 1 0^{i + 1} - d_{i + 1} 1 0^{i + 1} + b_{i} 1 0^{i} + \dots + b_{1} 10 + b_{0} + c_{i} 1 0^{i} + \dots + c_{1} 10 + c_{0}

konstant gleich $m$ ist. Für

i = - 1

fehlen die $b$ -, die $c$ - und die $d$ -Ausdrücke, sodass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von $S_{i - 1}$ nach $S_{i}$ , was dem $i$ -ten Rechenschritt entspricht. Im Fall

a_{i} \geq b_{i} + d_{i}

ist $d_{i + 1} = 0$ , $a_{i} - d_{i} = b_{i} + c_{i}$ und somit

\begin{matrix} S_{i - 1} & = a_{k} 1 0^{k} + \dots + a_{i} 1 0^{i} - d_{i} 1 0^{i} + b_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + b_{1} 10 + b_{0} + c_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + c_{1} 10 + c_{0} \\ = a_{k} 1 0^{k} + \dots + a_{i + 1} 1 0^{i + 1} + (b_{i} + c_{i}) 1 0^{i} + b_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + b_{1} 10 + b_{0} + c_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + c_{1} 10 + c_{0} \\ = a_{k} 1 0^{k} + \dots + a_{i + 1} 1 0^{i + 1} - d_{i + 1} 1 0^{i + 1} + b_{i} 1 0^{i} + \dots + b_{1} 10 + b_{0} c_{i} 1 0^{i} + \dots + c_{1} 10 + c_{0} \\ = S_{i} . \end{matrix}

Im Fall

a_{i} < b_{i} + d_{i}

ist $d_{i + 1} = 1$ , $a_{i} = b_{i} + c_{i} + d_{i} - 10$ und somit

\begin{matrix} S_{i - 1} & = a_{k} 1 0^{k} + \dots + a_{i} 1 0^{i} - d_{i} 1 0^{i} + b_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + b_{1} 10 + b_{0} + c_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + c_{1} 10 + c_{0} \\ = a_{k} 1 0^{k} + \dots + a_{i + 1} 1 0^{i + 1} + (b_{i} + c_{i} + d_{i} - 10) 1 0^{i} - d_{i} 1 0^{i} + b_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + b_{1} 10 + b_{0} + c_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + c_{1} 10 + c_{0} \\ = a_{k} 1 0^{k} + \dots + a_{i + 1} 1 0^{i + 1} - 10 \cdot 1 0^{i} + b_{i} 1 0^{i} + b_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + b_{1} 10 + b_{0} + c_{i} 1 0^{i} + c_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + c_{1} 10 + c_{0} \\ = a_{k} 1 0^{k} + \dots + a_{i + 1} 1 0^{i + 1} - d_{i + 1} \cdot 1 0^{i + 1} + b_{i} 1 0^{i} + b_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + b_{1} 10 + b_{0} + c_{i} 1 0^{i} + c_{i - 1} 1 0^{i - 1} + \dots + c_{1} 10 + c_{0} \\ = S_{i} . \end{matrix}

Für $i = k$ sind die $a$ - und die $d$ -Ausdrücke vollständig abgebaut ( $d_{k + 1} = 0$ ) und es bleiben die vollständigen $b$ - und $c$ -Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass

m = b_{k} 1 0^{k} + \dots + b_{1} 10 + b_{0} + c_{k} 1 0^{k} + \dots + c_{1} 10 + c_{0} = n + c_{k} 1 0^{k} + \dots + c_{1} 10 + c_{0}

ist und somit ist $c_{k} 1 0^{k} + \dots + c_{1} 10 + c_{0}$ gleich der Differenz $m - n$ .

Zur bewiesenen Aussage