Beweis
Es sei
-
und
-
![{\displaystyle {}m\geq n\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0483360a0e437bcf6729771131193a4d3fd33380)
Wir behaupten, dass für jedes
der Ausdruck
-
![{\displaystyle S_{i}=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}10^{i+1}+b_{i}10^{i}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886fa10f094e685085ee1381950c077364305134)
konstant gleich
ist. Für
-
![{\displaystyle {}i=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dbdae647d1b7386ec41b746ede9f17d2d1455b5)
fehlen die
-, die
- und die
-Ausdrücke, so dass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von
nach
, was dem
-ten Rechenschritt entspricht. Im Fall
-
![{\displaystyle {}a_{i}\geq b_{i}+d_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574bcf2b5f4fa939719567dc633260d12c5923e8)
ist
,
und somit
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}S_{i-1}&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}+(b_{i}+c_{i})10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}10^{i+1}+b_{i}10^{i}+\cdots +b_{1}10+b_{0}c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=S_{i}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f378275029a64f395d7db5a58884c748ae5547d1)
Im Fall
-
![{\displaystyle {}a_{i}<b_{i}+d_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae80ced5525649b69aac5ed8d56a9e55ce93b22)
ist
,
und somit
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}S_{i-1}&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}+{\left(b_{i}+c_{i}+d_{i}-10\right)}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-10\cdot 10^{i}+b_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}\cdot 10^{i+1}+b_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=S_{i}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb641a2e765497f9d23e2c4766b9354df01c530)
Für
sind die
- und die
-Ausdrücke vollständig abgebaut
(
)
und es bleiben die vollständigen
- und
-Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass
-
![{\displaystyle {}m=b_{k}10^{k}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}=n+c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c04292f0310a30ed7af188b5ca098d5ef31f283)
ist und somit ist
gleich der Differenz
.