Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist y-y^2/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um eine zeitunabhängige eindimensionale Differentialgleichung, die mit dem Ansatz für getrente Variablen gelöst werden kann. Es ist

$\frac{1}{y-y^2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y},$

eine Stammfunktion davon ist

$H(y)=\ln y-\ln (1-y)=\ln \left(\frac{y}{1-y}\right).$

Dafür müssen wir die Umkehrfunktion bestimmen. Der Ansatz

$z=\ln \left(\frac{y}{1-y}\right)$

führt auf

$e^z=\frac{y}{1-y}$

und auf

$(1-y)e^z-y=y(-e^z-1)+e^z=0,$

also

$y=\frac{e^z}{e^z+1}.$

Die Lösungsfunktionen haben daher die Form

$y(t)=\frac{e^{t+c}}{e^{t+c}+1},$

wobei die Anfangsbedingung

$y(0)=\frac{1}{2}$

über

$\frac{e^c}{e^c+1}=\frac{1}{2}$

die Konstante  $c=0$  festlegt. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also

$y(t)=\frac{e^t}{e^t+1}.$

Zur gelösten Aufgabe