Zeitungsabos/5/Aufgabe/Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge ${}A,B,C$ und Nichtleser) beschreibt, ist

{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}.

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ${}(20000,20000,20000,40000)$ ist

{}{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}20000\\20000\\20000\\40000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24000\\18000\\22000\\36000\end{pmatrix}}\,.

c) Die Ausgangsverteilung ist ${}(0,0,0,100000)$ , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich ${}(10000,10000,10000,70000)$ .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

{}{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10000\\10000\\10000\\70000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}17000\\14000\\16000\\53000\end{pmatrix}}\,.

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung

{}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}17000\\14000\\16000\\53000\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}22000\\15300\\19450\\43250\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}