Zentrales Kraftfeld/Gravitation/Zweidimensional/Übersetzung/Aufgabe

Wir betrachten ein zweidimensionales Kraftfeld, d.h. im Ursprungspunkt ${}(0,0)$ ist das Gravitationszentrum (ein Stern), das eine auf dieses Zentrum gerichtete Kraftwirkung und damit eine Beschleunigung erzeugt. Nach dem Gravitationsgesetz ist die Kraft proportional zum Produkt der beiden Massen geteilt durch das Quadrat des Abstandes. Das Gravitationszentrum wird als unbeweglich angenommen, und es wird die Wirkungsweise auf einen (verglichen mit der Masse des Zentrums) kleinen Probekörper untersucht. Da in die Beschleunigung des Probekörpers dessen Masse auch proportional eingeht, ist diese für den Bewegungsprozess irrelevant. Die zugehörige zweidimensionale Differentialgleichung zweiter Ordnung ist

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }=-c{\frac {1}{\Vert {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\Vert ^{3}}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,,$

wobei ${}c$ eine positive Konstante ist, die von der Masse des Zentrums und der Gravitationskonstanten abhängt. Mit den zusätzlichen Geschwindigkeitsvariablen ${}u=x'$ und ${}v=y'$ führt dies auf das System erster Ordnung in vier Variablen,

${}x'=u\,,$

${}u'=-{\frac {c}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}x\,,$

${}y'=v\,,$

${}v'=-{\frac {c}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}y\,.$

1. Wir betrachten kreisförmige Lösungen der Form

   ${}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos at\\r\sin at\end{pmatrix}}\,$

   mit ${}a,r\in \mathbb {R} _{+}$. Welche Beziehung muss zwischen ${}c,a,r$ bestehen (drittes Keplersches Gesetz)?

2. Wir betrachten elliptische Lösungen der Form

   ${}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos at\\s\sin at\end{pmatrix}}\,$

   mit ${}a,r,s\in \mathbb {R} _{+}$. Welche Beziehung muss zwischen ${}c,a,r,s$ bestehen?

3. Finde Lösungen, die auf einem Strahl zum Zentrum verlaufen.

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