Zielanalyse beim Dartspielen/Universität

Zyklus 1

Im ersten Zyklus wird angenommen, dass der Werfer einen bestimmten Zielkreis besitzt, sodass jeder Wurf innerhalb dieses Zielkreises landet. Es wird angenommen, dass die Trefferwahrscheinlichkeit innerhalb dieses Zielkreises gleichverteilt ist. Die erwarteten Punkte werden nun anhand des prozentualen Flächenanteils der Felder errechnet, die innerhalb des Zielkreises liegen. Füllt beispielsweise das 20er Feld 25% der Fläche des Zielkreises, so wird angenommen, dass der Werfer mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% das 20er Feld trifft. Damit man den prozentualen Anteil der Fläche berechnen kann, werden sowohl der Zielkreis, als auch die Begrenzungen der Felder der Scheibe als Funktionen angenommen. Die Scheibe wird dabei im Koordinatensystem so platziert, dass der Mittelpunkt der Scheibe bei (0/0) liegt. Die Funktion eines Halbkreises lautet $f(x)=sqrt(r^{2}-x^{2})$. Da die Stammfunktion sehr kompliziert zu bilden ist, werden die Kreise nun über Taylorpolynome angenähert, um einfacher rechnen zu können. Die so modellierte Dartscheibe sieht folgendermaßen aus:

Zu sehen ist, dass die Annäherung über die Taylorpolynome an der Entwicklungsstelle x=0 sehr genau ist, je weiter man sich von der Entwicklungsstelle entfernt, desto mehr unterscheidet sich das Taylorpolynom von der Ursprungsfunktion. Dies ist jedoch nicht sonderlich relevant, da es genügt, den Bereich um die Entwicklungsstelle zu betrachten, da sich dort der Zielkreis befindet. Auf alle anderen Felder kann man dann die Berechnungen übernehmen, da die Dartscheibe vollkommen symmetrisch ist. Nun kann man alle Flächen mit Hilfe von Integration berechnen und deren prozentualen Anteil von der Gesamtfläche ermitteln:

Bei einem Zielradius von 6cm ergeben sich z.B. folgende Werte:

Zielfeld Einzel: 45% Zielfeld Triple: 5% Nachbarfeld Einzel: je 21% Nachbarfeld Triple: je 4%

Berechnet man nun die Erwartungswerte der einzelnen Felder, kommt man zu folgendem Ergebnis:

Es ist also ratsam, auf die 7 zu zielen.

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus wird der Zielkreis in drei Kreise mit unterschiedlichem Radius unterteilt.

Dartscheibe modeliert

Der Werfer kann sich diese Zielkreise beispielsweise ausdrucken und an der Dartscheibe befestigen. Nun versucht der Werfer einige Darts genau in die Mitte zu werfen. Es werden die Treffer in den einzelnen Zielkreisen gezählt und daraus die Zielgenauigkeit bestimmt. Erneut wird mit diesen nun präziseren Werten mit Hilfe des Erwartungswertes das Feld bestimmt, bei dem abhängig von der Zielgenauigkeit die meisten Punkte zu erwarten sind. Bei einer Trefferverteilung von: Inneres Feld: 60% Mittleres Feld: 30% Äußeres Feld: 10% ergeben sich beispielsweise folgende Erwartungswerte:

Dieser Spieler würde somit durchschnittlich die meisten Punkte erzielen, wenn er auf das 19er-Feld zielt.

Zyklus 3

In einem dritten Zyklus wird die Ermittlung der Zielgenauigkeit noch weiter verbessert, indem die Zielkreise durch zwei Geraden in 8 verschiedene Felder unterteilt werden:

Mit dem gleichen Prinzip wie schon in Zyklus 1 und 2 kann man nun wieder ermitteln, auf welches Feld am besten gezielt werden sollte, um möglichst viele Punkte zu erzielen. Durch die Unterteilung in 8 Felder können nun auch Zielungenauigkeiten wie eine Tendenz zu einer Seite berücksichtigt werden:

Der Spieler in diesem Beispiel würde für eine optimale Punkteausbeute ebenfalls auf das 19er-Feld werfen.