Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}K_{p}=\mathbb {Q} [e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{p}}]\subseteq \mathbb {Q} [e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{p^{e}}}]=K_{p^{e}}\,.$

Sei

${}z=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{p^{e}}}\,.$

Dann ist

${}z^{p^{e-1}}=(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{p^{e}}})^{p^{e-1}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }p^{e-1}}{p^{e}}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{p}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage