Zusammenhang und Ableitung/Triviales Bündel/Trivialer und nichttrivialer Zusammenhang/Beispiel

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Auf dem trivialen Bündel

ergibt sich die kurze exakte Sequenz

von Vektorbündeln über (aufgeschrieben sind die Totalräume). Die Produkte werden dabei über den Grundkörper genommen, wobei links die Identifizierung und rechts die Identifizierung vorgenommen wurde. Zu einem Punkt gehört die exakte Sequenz der Fasern, also . Die globale Sequenz spaltet (egal in welcher Kategorie). Die zur trivialen Spaltung gehörige vertikale Ableitung ist einfach die Standardableitung: einem Schnitt in , der bezüglich einer Basis durch die Komponentenfunktionen repräsentiert wird, wird die Ableitung

zugeordnet, also einfach das Tupel der einzelnen Differentiale zu den Komponentenfunktionen.

Es gibt aber auch andere Spaltungen der Sequenz und damit auch andere vertikale Ableitungen. Eine -Matrix , deren Einträge -Differentialformen sind, liefert die vertikale Ableitung