Zusammenhang und Ableitung/Triviales Bündel/Trivialer und nichttrivialer Zusammenhang/Beispiel

Auf dem trivialen Bündel

$p\colon X\times W=W_{X}\longrightarrow X$

ergibt sich die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,p^{*}(X\times W)=X\times W\times W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,p^{*}T(X\times W)=TX\times W\times W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,p^{*}TX=TX\times W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von Vektorbündeln über ${}X\times W$ (aufgeschrieben sind die Totalräume). Die Produkte werden dabei absolut genommen, wobei links die Identifizierung ${}(X\times W)\times _{X}(X\times W)=X\times W\times W$ und rechts die Identifizierung ${}TX\times _{X}(X\times W)=TX\times W$ vorgenommen wurde. Zu einem Punkt ${}(x,w)\in X\times W$ gehört die exakte Sequenz der Fasern, also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,T_{x}X\times W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,T_{x}X\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Die zur trivialen Spaltung gehörige vertikale Ableitung ist einfach die Standardableitung: einem Schnitt ${}s$ in ${}W$, der bezüglich einer Basis durch die ${}r$ Komponentenfunktionen ${}(f_{1},\ldots ,f_{r})$ repräsentiert wird, wird die Ableitung

${}\nabla _{\rm {st}}(s)=(df_{1},\ldots ,df_{r})\in C^{0}(W\otimes T^{*}X)\,$

zugeordnet, also einfach das Tupel der einzelnen Differentiale zu den Komponentenfunktionen.

Es gibt aber auch andere Spaltungen der Sequenz und damit auch andere vertikale Ableitungen. Eine ${}r\times r$-Matrix ${}M$, deren Einträge ${}1$-Differentialformen ${}\omega _{ij}$ sind, liefert die vertikale Ableitung

$\nabla (f_{1},\ldots ,f_{r})=(df_{1}+\sum _{j=1}^{r}f_{j}\otimes \omega _{1j},\ldots ,df_{r}+\sum _{j=1}^{r}f_{j}\otimes \omega _{rj}).$