Zwei Achsenspiegelungen/Hintereinanderschaltung nicht diagonalisierbar/Beispiel

Es seien $G_1$ und $G_2$ zwei Geraden im ${ℝ}^2$ durch den Nullpunkt und es seien ${\phi }_1$ und ${\phi }_2$ die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets diagonalisierbar, und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden (zu den Eigenwerten $1$ und $-1$). Die Hintereinanderschaltung

$\psi ={\phi }_2\circ {\phi }_1$

dieser Spiegelungen ist eine Drehung, und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel $0$ oder $180$ Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von $0,90$ Grad verschieden ist, so besitzt $\psi$ keinen Eigenvektor.