Zwei Achsenspiegelungen/Hintereinanderschaltung nicht diagonalisierbar/Beispiel

Es seien ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ zwei Geraden im ${}\mathbb {R} ^{2}$ durch den Nullpunkt und es seien ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets diagonalisierbar, und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden (zu den Eigenwerten ${}1$ und ${}-1$). Die Hintereinanderschaltung

${}\psi =\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$

dieser Spiegelungen ist eine Drehung, und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel ${}0$ oder ${}180$ Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von ${}0,90$ Grad verschieden ist, so besitzt ${}\psi$ keinen Eigenvektor.