Ohne Einschränkung sei
.
Wir bezeichnen die Inhalte in den Eimern zu einem bestimmten Zeitpunkt in Paarschreibweise mit
, wobei
zwischen
und
und
zwischen
und
liegt. Es sei
der Rest von
bei Division durch
. Wir behaupten, dass wenn man die Belegung
durch die erlaubten Schritte erzielen kann,
dass man dann auch
erzielen kann, wobei
den Rest von
modulo
bezeichnet. Wir starten also mit
-
Durch Umschüttung kann man
-
erreichen. Durch Auffüllen des kleinen Eimers und anschließende Umfüllung in den großen kann man
-
erreichen, und ebenso der Reihe nach
-
wobei
so gewählt sei, dass
-

und
-

sei. Von hier aus erreichen wir
-
Wir füllen nun den Inhalt des ersten Eimers in den zweiten, bis dieser voll ist. Es sei
die umgefüllte Menge. Diese erfüllt
-

Die im ersten Eimer verbleibende Wassermenge ist somit
-

Diese Menge ist also der Rest von
modulo
, wie behauptet.
Aufgrund von dieser Beobachtung können wir der Reihe nach folgende Belegungen erzielen (bzw. die Reste davon modulo a).
-
Da
teilerfremd zu
ist, gibt es nach
dem Lemma von Bezout
positive ganze Zahlen
mit
-

(Falls
negativ sind, betrachtet man einfach
für ein ausreichend großes
).
Somit ist modulo
-

sodass bei Division durch

für ein gewisses

der Rest von

gleich

ist.