Zwei Massen/Bewegung/Differenz der Lageenergie/Beispiel

Zwischen zwei (punktförmig gedachten) Massen $M$ und $m$ bestehe der Abstand $R_{0}$ . Aufgrund der Gravitation besitzt dieses System eine gewisse Lageenergie. Wie ändert sich die Lageenergie, wenn die beiden Massen auf einen Abstand von $R_{1} \geq R_{0}$ auseinander gezogen werden?

Die aufzubringende Energie ist Anziehungskraft mal Weg, wobei die Anziehungskraft allerdings selbst vom Abstand der Massen abhängt. Nach dem Gravitationsgesetz ist die Kraft beim Abstand $r$ gleich

F (r) = γ \frac{M m}{r^{2}},

wobei $γ$ die Gravitationskonstante bezeichnet. Daher ist die Energie (oder Arbeit), die man aufbringen muss, um den Abstand von $R_{0}$ auf $R_{1}$ zu erhöhen, gleich

E = \int_{R_{0}}^{R_{1}} γ \frac{M m}{r^{2}} d r = γ M m \int_{R_{0}}^{R_{1}} \frac{1}{r^{2}} d r = γ M m (- \frac{1}{r} |_{R_{0}}^{R_{1}}) = γ M m (\frac{1}{R_{0}} - \frac{1}{R_{1}}) .

Damit kann man der Differenz der Lageenergien zum Abstand $R_{0}$ bzw. $R_{1}$ einen sinnvollen Wert zuweisen, nicht aber den Lageenergien selbst.