Zweidimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit/Ohne Punkt/Diffeomorph/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {N} _{+}=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(1,0),(2,0),(3,0),\ldots \}\,,$

es werden also aus dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ die auf der ${}x$-Achse platzierten positiven natürlichen Zahlen herausgenommen. Dies ist eine offene Teilmenge im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und damit eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Diese ist wegzusammenhängend, da man beispielsweise jeden Punkt aus ${}M$ mit ${}y\geq 0$ durch einen geraden Weg mit ${}(0,1)$ und jeden Punkt aus ${}M$ mit ${}y\leq 0$ durch einen geraden Weg mit ${}(0,-1)$ verbinden kann und diese beiden Punkte ebenfalls gerade verbindbar sind. Es sei nun

${}P=(0,0)\,$

und

${}M'=M\setminus \{P\}\,.$

Die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x-1,y),$

ist (als Verschiebung) ein Diffeomorphismus und das Bild von ${}M$ ist genau ${}M'$. Daher sind ${}M$ und ${}M'=M\setminus \{P\}$

zueinander diffeomorph.

Zur gelösten Aufgabe