Zwischenwertsatz/Existenz von Wurzeln/Bemerkung

Mit dem Zwischenwertsatz erhält man einen neuen Beweis für die Existenz von beliebigen Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen. Sei ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Man betrachtet die Funktion

${}f(x)=x^{k}-c\,,$

die nach Fakt stetig ist. Es ist

${}f(0)=-c\leq 0\,$

und für ${}x_{0}$ hinreichend groß (beispielsweise für ${}x_{0}=\operatorname {max} (c,1)$) ist

${}f(x_{0})\geq 0\,.$

Somit gibt es ein ${}x\in [0,x_{0}]$ mit

${}f(x)=0\,,$

also

${}x^{k}=c\,.$