Mit
dem Zwischenwertsatz
erhält man einen neuen Beweis für die Existenz von beliebigen Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen. Sei
und
.
Man betrachtet die Funktion
-
![{\displaystyle {}f(x)=x^{k}-c\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114a8b7ea95f7a182a1a1e30131fc2a2063d94ee)
die nach
Fakt
stetig ist. Es ist
-
![{\displaystyle {}f(0)=-c\leq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c9bd8aeff50eb21567740d2a8172d3c16a187)
und für
hinreichend groß
(beispielsweise für
)
ist
-
![{\displaystyle {}f(x_{0})\geq 0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b77388ed5a61a984aa53467222e081469034202)
Somit gibt es ein
mit
-
![{\displaystyle {}f(x)=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36f9cbe89c01c9b6b120c449f1b56887ea4ea14)
also
-
![{\displaystyle {}x^{k}=c\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f71db144f47cb1110048e0cfe11f6fc98de663)