Zwischenwertsatz/Falsche Widerlegung/Aufgabe

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼\frac{1}{x},$

gilt  $f(-1)=-1$  und  $f(1)=1$.  Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl  $x\in [-1,1]$  mit  $f(x)=0$.  Es ist doch aber stets  $\frac{1}{x}\ne 0$.  “

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

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