Zwischenwertsatz/Falsche Widerlegung/Aufgabe

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

gilt  ${}f(-1)=-1$  und  ${}f(1)=1$.  Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen ${}-1$ und ${}1$ geben, also eine Zahl  ${}x\in [-1,1]$  mit  ${}f(x)=0$.  Es ist doch aber stets  ${}{\frac {1}{x}}\neq 0$.  “

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

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