Zyklische Gruppe/SL2C/Wirkung auf Punkten und Geraden/Aufgabe

Es sei ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine ${}n$ -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die zyklische Gruppe

Z_{n}={\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}

auf der Punktmenge

{\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}

treu operiert, dass sie bei ${}n$ ungerade auf der Geradenmenge

{\left\{\langle {\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\rangle \mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}

ebenfalls treu operiert und dass sie bei ${}n$ gerade auf der Geradenmenge

{\left\{\langle {\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\rangle \mid j=0,\ldots ,{\frac {n}{2}}-1\right\}}

operiert, aber nicht treu. Was ist in diesem Fall der Kern der Operation?