Zylinder/Geodätische/Beispiel

Wir betrachten den Zylindermantel

${}Z={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Geometrisch ergeben sich die folgenden Bewegungen auf dem Zylinder, bei denen die Beschleunigung stets orthogonal zum Tangentialraum ist. Der Tangentialraum im Punkt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ ist durch ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ gegeben, dazu senkrecht ist ${}-{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$. Bei den folgenden Bewegungen kann man die Skalierung affin-linear abändern.

1. Bewegung auf einer Geraden auf dem Zylindermantel parallel zur inneren Achse:

   ${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\t\end{pmatrix}}\,$

   mit ${}x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1$. Die erste Ableitung ist ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist ${}0$.

2. Eine Kreisbewegung, gegeben durch

   ${}\delta (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\c\end{pmatrix}}\,.$

   Die erste Ableitung ist ${}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist ${}-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}$.

3. 

   Eine Schraubenlinie (Helix) gegeben durch

   ${}\epsilon (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\et\end{pmatrix}}\,$

   mit ${}e\neq 0$. Die erste Ableitung ist ${}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\e\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist ${}-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}$.