Zylinder/x-Achse und z-Achse/Durchschnitt/Volumen/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}Z={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}}\,$

und

${}W={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.$

Somit ist

${}T=Z\cap W={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1{\text{ und }}x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.$

Wir bestimmen den Flächeninhalt des Querschnitts von ${}T$ zu ${}x$ zwischen ${}0$ und ${}1$. Der Querschnitt ist

${}T(x)={\left\{(y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq {\sqrt {1-x^{2}}}\right\}}\,.$

Bei fixiertem ${}y$ (neben dem fixierten ${}x$) läuft ${}z$ zwischen ${}-{\sqrt {1-y^{2}}}$ und ${}{\sqrt {1-y^{2}}}$. Der Flächeninhalt von ${}T(x)$ ist durch

${}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(T(x))&=2\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}dy\\&={\left(y\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}-\arccos y\right)}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}\\&={\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-{\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}^{2}}}-\arccos {\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-{\left(-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}^{2}}}+\arccos {\left(-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}\\&=2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arccos {\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}+\pi \\&=2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arcsin x+\pi .\,\end{aligned}}$

Eine Stammfunktion dazu ist

$-{\frac {2}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}^{3/2}-2x\arcsin x-2{\sqrt {1-x^{2}}}+\pi x.$

Somit ist das Volumen von ${}T$ gleich

${}{\begin{aligned}2\int _{0}^{1}2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arcsin x+\pi dx&=2{\left(-{\frac {2}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}^{3/2}-2x\arcsin x-2{\sqrt {1-x^{2}}}+\pi x\right)}_{0}^{1}\\&=2{\left(-2{\frac {\pi }{2}}+\pi +{\frac {2}{3}}+2\right)}\\&={\frac {16}{3}}.\,\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe