Kurs:Elementare Algebra/3/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	4	4	2	5	4	3	3	2	2	3	3	6	7	8	5	2	1	64

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$ . Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b\geq 2$ und sei ${}n=ab$ .

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${}X^{a}-1$ und ${}X^{b}-1$ Teiler des Polynoms ${}X^{n}-1$ sind.

b) Es sei ${}a\neq b$ . Ist ${}(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von ${}X^{n}-1$ ?

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${}2^{30}-1$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ das Ideal ${}(X,Y)$ kein Hauptideal ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit ${}p$ Elementen, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)$ in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen ${}(\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)$ .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ Elemente gibt, deren Ordnung gleich ${}n$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+4X^{2}-7)$ das Inverse von ${}{\frac {1}{3}}x+5$ ( ${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$ ).

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den kleinen Satz von Fermat.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(360)$ .

a) Schreibe ${}\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ${}\mathbb {Z} /(360)$ ?

c) Schreibe das Element ${}239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von ${}239$ in ${}\mathbb {Z} /(360)$ .

Aufgabe * (7 (1+1+5) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Zeige, dass ${}X^{2}+2$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ ist.

b) Zeige, dass ${}X^{3}+X+1$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ ist.

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

{\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}

in ${}\mathbb {Z} /(5)(X)$ .

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}x={\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\in \mathbb {R}$ und betrachte die Körpererweiterung

\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (x)=L.

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von ${}x$ und das Inverse von ${}x$ . (Man darf dabei verwenden, dass ${}{\sqrt {2}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}}$ irrationale Zahlen sind.)

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$ , wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.