Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm

Einführung[Bearbeiten]

Eine Skalarproduktnorm, Innenproduktnorm oder Hilbertnorm ist in der Mathematik eine von einem Skalarprodukt induzierte (abgeleitete) Norm. In einem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt entspricht die Skalarproduktnorm gerade der euklidischen Norm.

Prähilbertraum und Norm[Bearbeiten]

Allgemein besitzt jeder Prähilbertraum eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein normierter Raum. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die Parallelogrammgleichung erfüllt.

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung[Bearbeiten]

Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und ist invariant unter unitären Transformationen.

Klassifikation topologischer Räume[Bearbeiten]

Definition: Prähilbertraum[Bearbeiten]

Ist $V$ ein Vektorraum über den Körper ${\mathbb {K} }$ der reellen oder komplexen Zahlen und $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ein Skalarprodukt auf $V\times V$ , dann ist $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein Skalarproduktraum oder Prähilbertraum. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist für einen Vektor $v\in V$ dann definiert als

\|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}

,

also die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.

Bemerkung: Wohldefiniertheit[Bearbeiten]

Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist.

Zusammenhang - Topologische Räume[Bearbeiten]

Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,^[1] Innenproduktnorm^[2] oder Hilbertnorm^[3] und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) euklidische Norm bezeichnet.^[4]^[5] Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum $V$ ein normierter Raum $(V,\|\cdot \|)$ . Weiterhin ist $V$ mit der von der Norm induzierten Metrik $d$ ein metrischer Raum $(V,d)$ und mit der Normtopologie ${\mathcal {T}}$ ein topologischer Raum $(V,{\mathcal {T}})$ .

Beispiele[Bearbeiten]

Skalarprodukte können nicht nur auf den grundlegenden endlichdimensionalen Vektorräumen, wie dem $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {C} ^{n}$ definiert werden. Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen werden nun genannt.

Euklidische Norm[Bearbeiten]

Die euklidische Norm auf dem euklidischen Raum der endlichdimensionalen Vektoren,

Skalarproduktnorm auf Folgenräumen[Bearbeiten]

Die ℓ²-Norm auf dem Raum ℓ² der quadratisch summierbaren Folgen,

L²-Norm auf Vektorräume von Funktionen[Bearbeiten]

Die L²-Norm auf dem Raum L² der quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktionen,

Sobolev-Norm[Bearbeiten]

Die Sobolev-Norm auf dem Sobolev-Raum H^s der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad $s$ quadratisch Lebesgue-integrierbar sind,

Frobenius-Norm[Bearbeiten]

Die Frobenius-Norm auf dem Raum der Matrizen,

Hilbert-Schmidt-Norm[Bearbeiten]

Die Hilbert-Schmidt-Norm auf dem Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung $\|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}$ ist eine Norm.
In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung
In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der Satz des Pythagoras

Normeigenschaften[Bearbeiten]

Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei Normaxiome

(N1) Definitheit,
(N2) absolute Homogenität und
(N3) Subadditivität bzw. Dreiecksungleichung.

Beweis N1 - Definitheit[Bearbeiten]

Die Definitheit folgt für $v\in V$ aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über

\|v\|=0\;\Leftrightarrow \;{\sqrt {\langle v,v\rangle }}=0\;\Rightarrow \;\langle v,v\rangle =0\;\Leftrightarrow \;v=0

,

Beweis N2 - Absolute Homogenität[Bearbeiten]

Die absolute Homogenität folgt für $v\in V$ und $\lambda \in \mathbb {K}$ unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper $\mathbb {R}$ bzw. Sesquilinearität über $\mathbb {C}$ mit

\|\lambda v\|^{2}=\langle \lambda v,\lambda v\rangle ={\bar {\lambda }}\lambda \langle v,v\rangle =|\lambda |^{2}\|v\|^{2}

Beweis: N3 - Dreiecksungleichung[Bearbeiten]

Die Dreiecksungleichung (oder Subadditivität) folgt für $v,w\in V$ über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (siehe den folgenden Abschnitt) aus

Abschätzung der Norm[Bearbeiten]

{\begin{aligned}\|v+w\|^{2}&=\langle v+w,v+w\rangle =\langle v,v\rangle +\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle +\langle w,w\rangle \\&=\|v\|^{2}+\langle v,w\rangle +{\overline {\langle v,w\rangle }}+\|w\|^{2}\\&=\|v\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle v,w\rangle +\|w\|^{2}\leq \|v\|^{2}+2\,\|v\|\,\|w\|+\|w\|^{2}\\&=\left(\|v\|+\|w\|\right)^{2}\,,\end{aligned}}

Bemerkung zur Abschätzung[Bearbeiten]

Für die Abschätzung wurde ferner verwendet, dass der Realteil $Re(z)=z_{1}$ einer komplexen Zahl $z=z_{1}+iz_{2}\in \mathbb {C}$ durch den Betrag des Realteils nach oben abgeschätzt werden kann.

\operatorname {Re} \langle v,w\rangle \leq |\langle v,w\rangle |\leq \|v\|\cdot \|w\|

wobei der Realteil und Imaginärteil in der komplexen Zahlebene betragsmäßig den Katheden eines rechtwickligen Dreiecks entspricht und $|z|$ der Länge der Hypothenuse.

Bemerkung Dreiecksungleichung[Bearbeiten]

Abschließend wird auf die Ungleichung der nicht-negativen Terme noch die Wurzel angewendet und man erhält mit Cauchy-Schwarz die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für die vom Skalarprodukt induzierten Norm.

Aufgabe für Lernende[Bearbeiten]

Formulieren Sie den Satz des Thales in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten $x,y\in V\setminus \{0_{V}\}$ mit $\langle x,y\rangle =0$ und der Hypotenuse $x+y\in V\setminus \{0_{V}\}$ .
Formulieren Sie den Höhensatz in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten $x,y\in V\setminus \{0_{V}\}$ $x,y\in V\setminus \{0_{V}\}$ mit $\langle x,y\rangle =0$ $\langle x,y\rangle =0$ und der Hypotenuse $x+y\in V\setminus \{0_{V}\}$ $x+y\in V\setminus \{0_{V}\}$ .
- Tragen Sie die Höhe $h$ und die Hypothenusenabschnitte $p,q$ ein.
- Stellen Sie $x,y$ durch die Vektor $h,p,q$ .
- Welche Eigenschaften der Orthogonalität finden Sie in Ihrer Skizze.
Welche Beweise für den Höhensatz in der Ebene kennen Sie? Können diese auf Prähilberträume analog übertragen werden?

Parallelogrammgleichung[Bearbeiten]

Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung

\|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}=2(\|v\|^{2}+\|w\|^{2})

für alle Vektoren $v,w\in V$ .

Satz von Jordan - von Neumann[Bearbeiten]

Umgekehrt gilt nach dem Satz von Jordan-von Neumann: erfüllt eine Norm $\|\cdot \|$ die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine Polarisationsformel, bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch

\langle v,w\rangle ={\frac {1}{4}}(\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2})

.

Unitäre Invarianz[Bearbeiten]

Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin invariant unter unitären Transformationen. Ist $U\colon V\rightarrow W$ ein unitärer Operator (im endlichdimensionalen Fall eine unitäre bzw. orthogonale Matrix) von $V$ in einen weiteren Skalarproduktraum $W$ mit zugehöriger Norm, dann gilt

\|Uv\|=\|v\|

,

Beweis für die Norminvaranz[Bearbeiten]

Die Gleichung $\|Uv\|=\|v\|$ folgt unmittelbar aus der folgenden Gleichungskette:

\|Uv\|^{2}=\langle Uv,Uv\rangle =\langle U^{\ast }Uv,v\rangle =\langle v,v\rangle =\|v\|^{2}

Dabei ist $U^{\ast }$ der zu $U$ adjungierte Operator. Im endlichdimensionalen Fall ist das dann die adjungierte bzw. transponierte Matrix).

Geometrischer Bezug[Bearbeiten]

Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise Drehungen des Vektors um den Nullpunkt.

Cauchy-Schwarz-Ungleichung[Bearbeiten]

Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren $v,w\in V$ die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

\left|\langle v,w\rangle \right|\leq \|v\|\,\|w\|

,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn $v$ und $w$ linear abhängig sind.

Reeler Fall[Bearbeiten]

Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar

{\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}\leq 1

,

Winkel zwischen Vektoren[Bearbeiten]

Mit der obigen Ungleichung kann man den Winkel $\varphi$ zwischen zwei reellen Vektoren über

\cos(\varphi )={\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}

definieren. Der Winkel $\varphi$ liegt damit im Intervall $[0,\pi ]$ , also zwischen $0^{\circ }$ und $180^{\circ }$ . Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.^[6]

Orthogonalprojektion von Vektoren[Bearbeiten]

Betrachtet man zwei verschiedene Vektoren $v,w\in V$ , dann kann man die Orthogonalprojektion $P_{w}:V\to V$ von $v$ auf $w$ durch das Skalarprodukt ausdrücken:

P_{w}(v)=\underbrace {\frac {\langle v,w\rangle }{\|w\|^{2}}} _{=:\lambda }\cdot w

Dabei liegt die Projektion von $P_{w}(v)$ in dem von $w$ aufgespannten eindimensionalen Unterraum von $V$

Aufgabe - Strahlensatz[Bearbeiten]

Betrachten Sie die normierten Vektoren $v_{1}:={\frac {v}{\|v\|}}$ und $w_{1}:={\frac {w}{\|w\|}}$ mit $v\not =0_{V}\not =w$ als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die

\cos(\varphi )={\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}

Aufgaben - Orthogonalprojektion[Bearbeiten]

Betrachten Sie zunächst die Orthogonalprojektion von einem Vektor auf einen zweiten Vektor im $\mathbb {R} ^{1}$ .

Aufgabe 1 - Orthogonalprojektion[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Orthogonalprojektion ${\vec {b}}_{\vec {a}}\in V\setminus \{0_{V}\}$ eines Vektors ${\vec {b}}\in V\setminus \{0_{V}\}$ auf einen Vektors ${\vec {a}}\in V\setminus \{0_{V}\}$ mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im $\mathbb {R} ^{2}$ und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren ${\vec {a}}=(5,1)\in \mathbb {R} ^{2}$ und ${\vec {b}}=(1,3)\in \mathbb {R} ^{2}$ . Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt ${\vec {b}}_{\vec {a}}$ . Zeigen Sie, dass ${\vec {a}}=(5,1)\in \mathbb {R} ^{2}$ und ${\vec {b}}-{\vec {b}}_{\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{2}$ senkrecht zueinander stehen.

Aufgabe 2 - Orthogonalprojektion[Bearbeiten]

Übertragen Sie das Vorgehen aus dem $\mathbb {R} ^{2}$ auf die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger $[0,2\pi ]$ nach $\mathbb {C}$ und berechnen Sie die Orthogonalprojektion $g_{f}$ von $f$ auf $g$ für die beiden Vektoren $f,g\in V:={\mathcal {C}}([0,2\pi ],\mathbb {C} )$ mit:

$f(t):=2\cdot t+(i+1)\cdot t^{3}$
$g(t):=t^{2}+it$

Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion $f_{g}$ von $f$ auf $g$ und zeigen Sie, dass $f_{0}:=f-f_{g}$ orthogonal orthogonal zu $g$ ! Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren $g_{1}$ und $f_{1}$ , sodass $\|g_{1}\|=\|f_{1}\|=1$ und $\langle f_{1},g_{1}\rangle =0$ gilt.

Vorbemerkung zu Aufgabe 3[Bearbeiten]

Andere Skalarprodukte kann man im reellen Fall durch jede symmetrische und positiv definite Matrix $M$ über

\langle x,y\rangle _{{}_{M}}=x^{T}My=\langle x,My\rangle

erzeugen. Dies ist auch im komplexen Fall durch jede positiv definite hermitesche Matrix $M$ über

\langle x,y\rangle _{{}_{M}}={\overline {x}}^{T}My=\langle x,My\rangle

möglich.

Aufgabe 3 - Skalarprodukt mit vorgegebenen Eigenschaften[Bearbeiten]

Geben Sie ein Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{_{M}}$ auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ an, bei dem die Vektoren $v:=(1,0)\in \mathbb {R} ^{2}$ und $w:=(1,1)\in \mathbb {R} ^{2}$ senkrecht aufeinander stehen - also $\langle v,w\rangle _{_{M}}=0$ gilt. Verwenden Sie zunächst die folgende symmetrische Matrix für das gesuchte Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{_{M}}$ :

M=\left({\begin{array}{cc}m_{1}&m_{2}\\m_{2}&m_{3}\\\end{array}}\right)

Satz des Pythagoras[Bearbeiten]

Allgemein werden zwei Vektoren $v,w\in V$ orthogonal genannt, wenn ihr Skalarprodukt $\langle v,w\rangle =0$ ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume

\|v+w\|^{2}=\|v\|^{2}+\|w\|^{2}

.

Erweiterung von Pythagoras[Bearbeiten]

Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ erweitert werden und es gilt dann

\|v_{1}+\dotsb +v_{n}\|^{2}=\|v_{1}\|^{2}+\dotsb +\|v_{n}\|^{2}

.

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung (siehe auch Satz des Pythagoras).

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Verzichtet man auf die positive Definitheit des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jede positiv semidefinite hermitesche Sesquilinearform (im reellen Fall symmetrische Bilinearform) $(\cdot ,\cdot )\colon V\times V\rightarrow {\mathbb {K} }$ induziert für $v\in V$ durch

p(v)={\sqrt {(v,v)}}

eine Halbnorm.

Hausdorff-Eigenschaft - Trennung von Punkten[Bearbeiten]

Mit dieser Halbnorm ist dann $(V,p)$ ein halbnormierter Raum, der aber im Allgemeinen kein metrischer Raum ist. Durch Restklassenbildung lässt sich aus einer Halbnorm aber eine zugehörige Norm ableiten und so erhält man wieder einen normierten Raum und damit auch einen metrischen und einen topologischen Raum.

Beispiel - Kovarianz[Bearbeiten]

Die Kovarianz ist eine Bilinearform auf dem Raum der Zufallsvariablen mit endlichen zweiten Momenten, und wird zu einem Skalarprodukt auf dem Quotientenraum der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die Standardabweichung einer Zufallsvariablen.

Literatur[Bearbeiten]

Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I. Birkhäuser, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0.
Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 6. Auflage. Vieweg, 2003, ISBN 3-528-56508-X.
Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. 7. Auflage. Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9.
Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. Vieweg, 2006, ISBN 978-3-8351-0026-8.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

↑ Kosmol: Optimierung und Approximation. de Gruyter, 2010, S. 100.
↑ Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 2006, S. 148.
↑ Amann, Escher: Analysis I. 2006, S. 168.
↑ Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 368.
↑ Beutelspacher: Lineare Algebra. 2003, S. 259.
↑ Klaus Scharnhorst: Angles in complex vector spaces. In: Acta Applicandae Math. Band 69, 2001, S. 95–103.

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiten-Information[Bearbeiten]

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Wikipedia2Wikiversity[Bearbeiten]

Diese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt:

[1] Kosmol: Optimierung und Approximation. de Gruyter, 2010, S. 100.

[2] Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 2006, S. 148.

[3] Amann, Escher: Analysis I. 2006, S. 168.

[4] Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 368.

[5] Beutelspacher: Lineare Algebra. 2003, S. 259.

[6] Klaus Scharnhorst: Angles in complex vector spaces. In: Acta Applicandae Math. Band 69, 2001, S. 95–103.

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