Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm

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Eine Skalarproduktnorm, Innenproduktnorm oder Hilbertnorm ist in der Mathematik eine von einem Skalarprodukt induzierte (abgeleitete) Norm. In einem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt entspricht die Skalarproduktnorm gerade der euklidischen Norm. Allgemein besitzt jeder Prähilbertraum eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein normierter Raum. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die Parallelogrammgleichung erfüllt. Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und ist invariant unter unitären Transformationen.

Definition[Bearbeiten]

Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik

Ist ein Vektorraum über den Körper der reellen oder komplexen Zahlen und ein Skalarprodukt auf , dann ist ein Skalarproduktraum. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist für einen Vektor dann definiert als

,

also die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist.

Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,[1] Innenproduktnorm[2] oder Hilbertnorm[3] und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) euklidische Norm bezeichnet.[4][5] Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum ein normierter Raum . Weiterhin ist mit der von der Norm induzierten Metrik ein metrischer Raum und mit der Normtopologie ein topologischer Raum .

Beispiele[Bearbeiten]

Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen sind:

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die durch das Skalarprodukt induzierte Abbildung ist eine Norm.
  • In einem (Prä-)Hilbertraum gilt die Parallelogrammgleichung
  • In einem (Prä-)Hilbertraum gilt der Satz des Pythagoras

Normeigenschaften[Bearbeiten]

Vektoren in der Dreiecksungleichung

Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei Normaxiome

Beweis N1 - Definitheit[Bearbeiten]

Die Definitheit folgt für aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über

,

Beweis N2 - Absolute Homogenität[Bearbeiten]

Die absolute Homogenität folgt für und unter Ausnutzung der Bilinearität über dem Körper bzw. Sesquilinearität über mit

Beweis: N3 - Dreiecksungleichung[Bearbeiten]

Die Dreiecksungleichung (oder Subadditivität) folgt für über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (siehe den folgenden Abschnitt) aus

wobei den Realteil der komplexen Zahl angibt und in den beiden letzten Fällen noch die (positive) Wurzel auf beiden Seiten gezogen werden muss.

Aufgabe für Lernende[Bearbeiten]

Satz des Thales
  • Formulieren Sie den Satz des Thales in einer Skalarprodukt-Notation in einem Prähilbertraum und beweisen Sie den Satz. Starten Sie mit einem rechtwickligen Dreieck mit den Katheten mit und der Hypotenuse .

Parallelogrammgleichung[Bearbeiten]

Vektoren in der Parallelogrammgleichung

(siehe auch [[Parallelogrammgleichung

Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung

für alle Vektoren . Umgekehrt gilt nach dem Satz von Jordan-von Neumann: erfüllt eine Norm die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine Polarisationsformel, bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch

.

Unitäre Invarianz[Bearbeiten]

Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin invariant unter unitären Transformationen. Ist ein unitärer Operator (im endlichdimensionalen Fall eine unitäre bzw. orthogonale Matrix) von in einen weiteren Skalarproduktraum mit zugehöriger Norm, dann gilt

,

was unmittelbar aus

folgt, wobei der zu adjungierte Operator (im endlichdimensionalen Fall die adjungierte bzw. transponierte Matrix) ist. Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise Drehungen des Vektors um den Nullpunkt.

Cauchy-Schwarz-Ungleichung[Bearbeiten]

Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn und linear abhängig sind. Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar

,

daher kann man den Winkel zwischen zwei reellen Vektoren über

definieren. Der Winkel liegt damit im Intervall , also zwischen und . Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.[6]

Aufgabe - Orthogonalprojektion[Bearbeiten]

Orthogonalprojektion
  • Berechnen Sie die Orthogonalprojektion eines Vektors auf einen Vektors mit Hilfe des Skalarpdoktes U! Betrachten Sie dazu zunächst die Abbildung im und wählen Sie im einfachen Fall die Vektoren und . Berechnen Sie zunächst die Orthogonalprojekt . Zeigen Sie, dass und senkrecht zueinander stehen.
  • Übertragen Sie das Vorgehen aus dem die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger und berechnen Sie die Orthogonalprojektion von auf für die beiden Vektoren mit:
Berechnen Sie zunächst die Orthonalprojektion von auf und zeigen Sie, dass orthogonal orthogonal zu ! Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren und , sodass und gilt.

Satz des Pythagoras[Bearbeiten]

Allgemein werden zwei Vektoren orthogonal genannt, wenn ihr Skalarprodukt ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume

,

was direkt aus dem ersten Teil der obigen Herleitung der Dreiecksungleichung folgt. Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren erweitert werden und es gilt dann

.

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung (siehe auch Satz des Pythagoras).

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Verzichtet man auf die positive Definitheit des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jede positiv semidefinite hermitesche Sesquilinearform (im reellen Fall symmetrische Bilinearform) induziert für durch

eine Halbnorm. Mit dieser Halbnorm ist dann ein halbnormierter Raum, der aber im Allgemeinen kein metrischer Raum ist. Durch Restklassenbildung lässt sich aus einer Halbnorm aber eine zugehörige Norm ableiten und so erhält man wieder einen normierten Raum und damit auch einen metrischen und einen topologischen Raum.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Kovarianz ist eine Bilinearform auf dem Raum der Zufallsvariablen mit endlichen zweiten Momenten, und wird zu einem Skalarprodukt auf dem Quotientenraum der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die Standardabweichung einer Zufallsvariablen.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kosmol: Optimierung und Approximation. de Gruyter, 2010, S. 100.
  2. Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 2006, S. 148.
  3. Amann, Escher: Analysis I. 2006, S. 168.
  4. Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 368.
  5. Beutelspacher: Lineare Algebra. 2003, S. 259.
  6. Klaus Scharnhorst: Angles in complex vector spaces. In: Acta Applicandae Math. Band 69, 2001, S. 95–103.

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiten-Information[Bearbeiten]

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