Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 20

Höhere Ableitungen

Die Ableitung ${{}} f'$ einer (in jedem Punkt) differenzierbaren Funktion nennt man häufig auch die erste Ableitung von ${{}} f$. Unter der nullten Ableitung versteht man die Funktion selbst. Höhere Ableitungen werden rekursiv definiert.

Definition

Es sei ${{}} I \subseteq \R$ ein Intervall und sei

${{}} f \colon I \longrightarrow \R \,$

eine Funktion. Die Funktion ${{}} f$ heißt ${{}} n$-mal differenzierbar, wenn sie ${{}} (n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${{}} (n-1)$-te Ableitung, also ${{}} f^{(n-1)}$, differenzierbar ist. Die Ableitung

$f^{(n)} (x) := (f^{(n-1)})' (x)$

nennt man dann die ${{}} n$-te Ableitung von ${{}} f$.

Die zweite Ableitung schreibt man auch als ${{}} f^{\prime \prime}$, die dritte Ableitung als ${{}} f^{\prime \prime \prime}$. Wenn eine Funktion ${{}} n$-mal differenzierbar ist, so sagt man auch, dass die Ableitungen bis zur ${{}} n$-ten Ordnung existieren. Eine Funktion ${{}} f$ heißt unendlich oft differenzierbar, wenn sie ${{}} n$-mal differenzierbar ist für jedes ${{}} n$.

Eine differenzierbare Funktion ist stetig, allerdings muss die Ableitung keineswegs stetig sein. Daher ist der folgende Begriff nicht überflüssig.

Definition

Sei ${{}} I \subseteq \R$ ein Intervall und

${{}} f \colon I \longrightarrow \R \,$

eine Funktion. Man sagt, dass ${{}} f$ stetig differenzierbar ist, wenn ${{}} f$ differenzierbar ist und die Ableitung ${{}} f'$ stetig ist.

Eine Funktion heißt ${{}} n$-mal stetig differenzierbar, wenn sie ${{}} n$-mal differenzierbar ist und die ${{}} n$-te Ableitung stetig ist.

Extrema von Funktionen

Wir untersuchen jetzt mit Mitteln der Differentialrechnung, wann eine differenzierbare Funktion

${{}} f \colon I \longrightarrow \R \, ,$

wobei ${{}} I \subseteq \R$ ein Intervall ist, (lokale) Extrema besitzt und wie ihr Wachstumsverhalten aussieht.

Satz

Es sei

${{}} f \colon ]a,b[ \longrightarrow \R \,$

eine Funktion, die in ${{}} c \in ]a,b[$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.

Dann ist

$f'(c)=0 .$

Beweis

Wir können annehmen, dass ${{}} f$ ein lokales Maximum in ${{}} c$ besitzt. Es gibt also ein ${{}} \epsilon >0$ mit ${{}} f(x) \leq f(c)$ für alle ${{}} x \in [c- \epsilon, c+ \epsilon] \subseteq ]a,b[$. Es sei ${{}} \left( s_n \right)_{n \in \N }$ eine Folge mit ${{}} c- \epsilon \leq s_n <c$, die gegen ${{}} c$ („von unten“) konvergiere. Dann ist

$\frac{ f (s_n )-f (c) }{ s_n -c } \geq 0 ,$

was sich dann auf den Limes überträgt. Für eine Folge ${{}} \left( t_n \right)_{n \in \N }$ mit ${{}} c + \epsilon \geq t_n > c$ gilt andererseits

$\frac{ f (t_n )-f (c) }{ t_n -c } \leq 0 .$

Nach Voraussetzung existiert der Differentialquotient, d.h. für jede gegen ${{}} c$ konvergente Folge existiert der Limes und besitzt stets den gleichen Wert. Also muss dieser Grenzwert ${{}} 0$ sein.

$\Box$

Man beachte, dass das Verschwinden der Ableitung nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines Extremums ist. Das einfachste Beispiel für dieses Phänomen ist die Funktion ${{}} \R \longrightarrow \R$, ${{}} x \longmapsto x^3$, die streng wachsend ist, deren Ableitung aber im Nullpunkt verschwindet.

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Der folgende Satz heißt Satz von Rolle.

Satz

Sei ${{}} a<b$ und sei

${{}} f \colon [a,b] \longrightarrow \R \,$

eine stetige, auf ${{}} ]a,b[$ differenzierbare Funktion mit ${{}} f(a) = f(b)$.

Dann gibt es ein ${{}} c \in ]a,b[$ mit

$f'(c)=0 .$

Beweis

Wenn ${{}} f$ konstant ist, so ist die Aussage richtig. Sei also ${{}} f$ nicht konstant. Dann gibt es ein ${{}} x \in ]a,b[$ mit ${{}} f(x) \neq f(a)=f(b)$. Sagen wir, dass ${{}} f(x)$ größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Satz 16.10 gibt es ein ${{}} c \in [a,b]$, wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses ${{}} c$ ist dann ${{}} f'(c)=0$ nach Satz 20.3.

$\Box$

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt anschaulich gesprochen, dass es zu einer Sekante eine parallele Tangente gibt.

Der folgende Satz, der direkt aus dem Satz von Rolle folgt, heißt Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Satz

Sei ${{}} a<b$ und sei

${{}} f \colon [a,b] \longrightarrow \R \,$

eine stetige, auf ${{}} ]a,b[$ differenzierbare Funktion.

Dann gibt es ein ${{}} c \in ]a,b[$ mit

$f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} .$

Beweis

Wir betrachten die Funktion

${{}} g \colon [a,b] \longrightarrow \R , \, x \longmapsto f(x)- \frac{f(b) -f(a) }{b-a} (x-a) \, .$

Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in ${{}} ]a,b[$ differenzierbar. Ferner ist ${{}} g(a) = f(a)$ und

${{}} g(b) = f(b) -(f(b)-f(a)) = f(a) \, .$

Daher erfüllt ${{}} g$ die Voraussetzungen von Satz 20.4 und somit gibt es ein ${{}} c \in ]a,b[$ mit ${{}} g'(c)=0$. Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also

$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} .$

$\Box$

Korollar

Sei

${{}} f \colon [a,b] \longrightarrow \R \,$

eine stetige, auf ${{}} ]a,b[$ differenzierbare Funktion mit ${{}} f'(x) =0$ für alle ${{}} x \in ]a,b[$.

Dann ist ${{}} f$ konstant.

Beweis

 Wenn ${{}} f$ nicht konstant ist, so gibt es ${{}} x<x'$ mit ${{}} f(x) \neq f(x')$. Dann gibt es aufgrund von Satz 20.5 ein ${{}} c$, ${{}} x <c < x'$, mit ${{}} f'(c)= \frac{f(x') - f(x)}{x'-x} \neq 0$, ein Widerspruch zur Voraussetzung.

$\Box$

Satz

Es sei ${{}} I \subseteq \R$ ein offenes Intervall und

${{}} f \colon I \longrightarrow \R \,$

eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Funktion ${{}} f$ ist genau dann auf ${{}} I$ wachsend (bzw. fallend), wenn ${{}} f'(x) \geq 0$ (bzw. ${{}} f'(x) \leq 0$) ist für alle ${{}} x \in I$.
2. Wenn ${{}} f'(x) \geq 0$ für alle ${{}} x \in I$ ist und ${{}} f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${{}} f$ streng wachsend.
3. Wenn ${{}} f'(x) \leq 0$ für alle ${{}} x \in I$ ist und ${{}} f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${{}} f$ streng fallend.

Beweis

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn ${{}} f$ wachsend ist, und ${{}} x \in I$ ist, so gilt für den Differenzenquotient

$\frac{f(x+h) -f(x) }{h} \geq 0$

für jedes ${{}} h$ mit ${{}} x+h \in I$. Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert, und dieser ist ${{}} f'(x)$.
Sei umgekehrt die Ableitung ${{}} \geq 0$.    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte ${{}} x<x'$ in ${{}} I$ gibt mit ${{}} f(x) > f(x')$. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein ${{}} c$ mit ${{}} x < c < x'$ mit

${{}} f'(c) = \frac{f(x') - f(x)}{x'-x} < 0 \,$

 im Widerspruch zur Voraussetzung.
(2). Es sei nun ${{}} f'(x) > 0$ mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre ${{}} f(x) = f(x')$ für zwei Punkte ${{}} x<x'$. Da ${{}} f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist ${{}} f$ auf dem Intervall ${{}} [x,x']$ konstant. Somit ist ${{}} f'=0$ auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass ${{}} f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.

$\Box$

Korollar

Eine reelle Polynomfunktion

${{}} f \colon \R \longrightarrow \R \,$

vom Grad ${{}} d \geq 1$ besitzt maximal ${{}} d-1$ Extrema, und die reellen Zahlen lassen sich in maximal ${{}} d$ Abschnitte unterteilen, auf denen ${{}} f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 20.6.

$\Box$

Der zweite Mittelwertsatz und die Regel von l'Hospital

Die folgende Aussage heißt auch zweiter Mittelwertsatz.

Satz

Es sei ${{}} b>a$ und

${{}} f,g \colon [a,b] \longrightarrow \R \,$

zwei stetige, auf ${{}} ]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit ${{}} g'(x) \neq 0$ für alle ${{}} x \in ]a,b[$.

Dann ist ${{}} g(b) \neq g(a)$ und es gibt ein ${{}} c \in ]a,b[$ mit

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} .$

Beweis

Dies folgt aus Satz 20.4, angewendet auf die Hilfsfunktion

$h(x) := f(x)- \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g(x) .$

$\Box$

L’Hospital (1661-1704)

Zur Berechnung von Grenzwerten einer Funktion, die als Quotient gegeben ist, ist die folgende Regel von l'Hospital hilfreich.

Korollar

Es sei ${{}} I \subseteq \R$ ein offenes Intervall und ${{}} a \in I$ ein Punkt. Es seien

${{}} f,g \colon I \longrightarrow \R \,$

stetige Funktionen, die auf ${{}} I \setminus \{ a \}$ differenzierbar seien mit ${{}} f( a ) =g( a )=0$ und mit ${{}} g'(x) \neq 0$ für ${{}} x \neq a$. Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

$w := \operatorname{lim}_{ x \in I \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{f'(x)}{g'(x)}$

existiert.

Dann existiert auch der Grenzwert

$\operatorname{lim}_{ x \in I \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{f(x)}{g(x)} ,$

und sein Wert ist ebenfalls ${{}} w$.

Beweis

Es sei ${{}} \left( x_n \right)_{n \in \N }$ eine Folge in ${{}} I \setminus \{ a \}$, die gegen ${{}} a$ konvergiert. Zu jedem ${{}} x_n$ gibt es nach Satz 20.9, angewandt auf ${{}} I_n := [x_n, a ]$ bzw. ${{}} [ a ,x_n]$, ein ${{}} c_n$ (im Innern von ${{}} I_n$) mit

$\frac{f(x_n)-f( a )}{g(x_n)-g( a ) } = \frac{f'(c_n)}{g'(c_n)} .$

Die Folge ${{}} \left( c_n \right)_{n \in \N }$ konvergiert ebenfalls gegen ${{}} a$, so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen ${{}} \frac{f'( a )}{g'( a )}=w$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen ${{}} w$, und wegen ${{}} f( a )=g( a )=0$ bedeutet das, dass ${{}} \frac{f(x_n)}{g(x_n)}$ gegen ${{}} w$ konvergiert.

$\Box$

Beispiel

Die beiden Polynome

$3x^2-5x-2 \text{ und } x^3-4x^2+x+6$

haben beide für ${{}} x=2$ eine Nullstelle. Es ist also nicht von vornherein klar, ob der Limes

$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 2 } \, \frac{ 3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6}$

existiert und welchen Wert er besitzt. Aufgrund der Regel von l'Hospital kann man den Grenzwert über die Ableitungen bestimmen, und das ergibt

${{}} \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 2 } \, \frac{ 3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6} = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 2 } \, \frac{ 6x-5}{3x^2-8x+1} = \frac{7}{-3} = - \frac{7}{3} \, .$

Fußnoten

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