Kurs:Mathematische Modellbildung/Lehrerbedarf/Modellierungszyklus 3

Einführung

• In Modellierungszyklus 2 wurde die Zahl der Lehrkräfte 2026 ermittelt
• Um eine konkrete Aussage über den Lehrerbedarf 2026 treffen zu können, wird die Schülerzahl für das Jahr 2026 benötigt
• Fokus liegt auf der Schülerzahl in der Sekundarstufe 1 in Rheinland-Pfalz

Inhaltliche Beschreibung

Schülerzahl

Annahme: Die Schüler in der Sekundarstufe 1 sind zwischen 10 und 15 Jahren alt.

Die Schülerzahl 2026 setzt sich daher aus den folgenden Punkten zusammen:

• Geburtenzahlen von 2011-2016 in Rheinland-Pfalz
• Kinder im Alter von 10 bis 15 Jahren, die zwischen 2020 und 2026 nach Rheinland-Pfalz wandern werden
• Kinder im Alter von 4 bis 9 Jahren, die bis 2020 nach Rheinland-Pfalz gewandert sind

Migration

Bei der Migration werden folgende Herkunftsländer betrachtet:

Ägypten, Libyen, Tunesien, Algerien, Marokko, Libanon, Syrien, Türkei

Mathematisches Modell

Geburtenzahlen 2011-2016

• 0,4% Kindersterblichkeit in Deutschland
• Schulpflicht in Deutschland bzw. Rheinland-Pfalz
• Die Zahl der Einschulungen in einem Jahr $t$ ergibt sich aus der Zahl der Geburten im Jahr $t-10$ mal 0,996

Migration zwischen 2020 und 2026

• Zahl der Migranten in Deutschland bekannt
• 5 Prozent der in Deutschland erfassten Migranten leben in Rheinland-Pfalz

Implementation der Migranten 2018 & 2020 in Excel

Lineare Regression

• Mithilfe der linearen Regression als Werkzeug könnten die ermittelten Wertepaare approximiert werden
• Unter Berücksichtigung der Werte von 2018 bis 2020 ergibt sich die Funktionsvorschrift: $f(x)=-3.959.252,835+2022,5\cdot x$
• Ansatz kann verworfen werden, da lineare Funktionen nicht konvergieren und somit gegen keine Sättigungsgrenze steuern
• In der Realität erreicht die Migration aber eine obere Schranke, da nicht mehr Menschen aus einem Land auswandern können, als das Land Einwohner hat

Logistisches Wachstum

• Stattdessen zunächst exponentieller Anstieg der Migrantenzahlen erwartet, die dann in ein beschränktes Wachstum übergehen
• Dieser Zusammenhang kann mit dem logistischen Wachstum beschrieben werden
• $f(t)={\frac {f(0)\cdot S}{f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}}$
• Jahr 2018 entspricht $t=0$
• $f(0)=122.034$ (aus Tabelle)

Bestimmung der Sättigungsgrenze S

• Einwohner in den Herkunftsländern: 310.416.000
• Annahme: höchstens 20% wandern nach Deutschland
• 5 Prozent der in Deutschland erfassten Migranten leben in Rheinland-Pfalz
• Zusammen: $S=310.416.000\cdot 0,2\cdot 0,05=3.104.160$

Bestimmung der Wachstumskonstante k

• Jahr 2018 entspricht $t=0$ ⇒ Jahr 2020 entspricht $t=2$
• $f(2)=126.079$ (aus Tabelle)
• in Formel für das logistische Wachstum einsetzen: $126.079={122.034\cdot 3.104.160 \over 122.034+(3.104.160-122.034)\cdot e^{-3.104.160\cdot k\cdot 2}}$
• nach k auflösen
• $k\approx 5,4711\cdot 10^{-9}$
• Allgemein ergibt sich nun folgende Gleichung: $f(t)={\frac {122.034\cdot 3.104.160}{122.034+(3.104.160-122.034)\cdot e^{-3.104.160\cdot 5,4711\cdot 10^{-9}\cdot t}}}$

• Zur Bestimmung der Zahl der Migranten, die sich 2026 in Rheinland-Pfalz befinden, wird nun $t=8$ in $f$ eingesetzt
• $f(8)={\frac {122.034\cdot 3.104.160}{122.034+(3.104.160-122.034)\cdot e^{-3.104.160\cdot 5,4711\cdot 10^{-9}\cdot 8}}}=138.998,0903$
• Somit leben im Jahr 2026 138.998 Migranten in Rheinland-Pfalz
• Nun ist von Interesse, wie viele Menschen zwischen 2020 und 2026 hinzu gekommen sind
• Differenz: $138.998-126.079=12.919$
• Also: 12.919 Menschen von 2020-2026 nach Rheinland-Pfalz gewandert

Kinder zwischen 10 und 15 Jahren

• Anteil der 10- bis 14-Jährigen und 15- bis 19-Jährigen aus den Bevölkerungspyramiden der Länder entnommen
• Anteil der 15-Jährigen aus dem Anteil der 15- bis 19-Jährigen bestimmt (Annahme einer Gleichverteilung, daher ein Fünftel)

Implementation Anteile der Migranten in Excel

• Unter den 12.919 Menschen, die zwischen 2020 und 2026 nach Rheinland-Pfalz wandern werden, sind 1.323 Kinder zwischen 10 und 15 Jahren
• Denn es gilt: $12.919\cdot 0,1224=1.322,9056$

Migration bis 2020

• Betrachtung der Kinder, die nicht in Deutschland geboren sind und bis 2020 nach Rheinland-Pfalz gewandert sind
• 4- bis 9-Jährige, da sich diese Kinder im Jahr 2026 in der Sekundarstufe 1 befinden
• analoge Argumentation/Rechnung

Implementation der Migrantenanteile bis 2020 in Excel

Zwischenfazit

• Alle ermittelten Werte werden addiert
• $199.329+1.323+13.427=214.079$
• Ergebnis gibt Schülerzahl 2026 an

Vergleich 2022

Geburtenzahlen 2007-2012

Wiki2Reveal Geburtenzahlen 2

• Zur Bestimmung der Migranten, die sich 2022 in Rheinland-Pfalz befinden, wird $t=4$ in $f$ eingesetzt
• Es gilt: $f(4)=130.252,2223$
• Differenz zwischen den Jahren 2022 und 2020: $130.252-126.079=4.173$
• Somit sind 4.173 Menschen in den zwei Jahren nach Rheinland-Pfalz gewandert
• Darunter sind 427 Kinder zwischen 10 und 15 Jahren, da $4173\cdot 0,1024=427,3152$

• Betrachtung der Kinder zwischen 8 und 13 Jahren, die bereits vor 2020 nach Rheinland-Pfalz gewandert sind

Implementierung der Migrantenanteile 2020 in Excel

• Alle Werte addieren: $188.706+427+13.228=202.361$
• Ergebnis gibt Schülerzahl 2022 an

Software: Tabellenkalkulation

Implementation der Migranten 2018 & 2020 in Excel

Implementation der Migranten 2018 & 2020 in Excel

• Einwohnerzahl der Herkunftsländer und Migrantenzahl in Deutschland bekannt
• Migrantenzahl in Rheinland-Pfalz soll bestimmt werden
• (D2) Befehl für die Migranten aus Ägypten in RLP (2018): =RUNDEN(0,05*C2;0)
• (F2) Befehl für die Migranten aus Ägypten in RLP (2020): =RUNDEN(0,05*E2;0)
• alle weiteren Länder analog
• (D11), (F11) Summe der in Rheinland-Pfalz lebenden Migranten über den Befehl: =SUMME(D2:D9) bzw. =SUMME(F2:F9)

Implementation Anteile der Migranten in Excel

Implementation Anteile der Migranten in Excel

• Anteil der 10- bis 14-Jährigen und 15- bis 19-Jährigen aus den Bevölkerungsdiagrammen der Länder entnommen
• Anteil der 15-Jährigen aus dem Anteil der 15- bis 19-Jährigen bestimmt
• (D2) 15-Jährige in Ägypten über den Befehl: =C2*0,2
• (E2) Damit 10- bis 15-Jährige in Ägypten über den Befehl: =B2+D2
• alle weiteren Länder analog
• (E12) Arithmetischer Mittelwert über den Befehl: =MITTELWERT(E2:E9)

Implementation der Migrantenanteile bis 2020 in Excel

Implementation der Migrantenanteile bis 2020 in Excel

• Anteil der 0- bis 4-Jährigen und 5- bis 9-Jährigen aus den Bevölkerungsdiagrammen der Länder entnommen
• (C2) 4-Jährige in Ägypten über den Befehl: =B2*0,2
• (E2) Damit 4- bis 9-Jährige in Ägypten über den Befehl: =C2+D2
• Migrantenzahl in RLP (2020) aus vorherigen Berechnungen bekannt
• (G2) Ägyptische Kinder zwischen 4 und 9 Jahren in RLP über den Befehl: =RUNDEN(E2*F2;0)
• alle weiteren Länder analog
• (G12) Summe aller migrierten 4- bis 9-Jährigen in RLP (2020) über den Befehl: =SUMME(G2:G9)

Software: wxMaxima

• Zur Bestimmung der Funktionswerte

Maxima 3.Zyklus Funktionswerte

Resultate der Modellierung

Im Jahr 2026 sind 214.079 Schüler in der Sekundarstufe 1.

Lehrerbedarf?

Wiki2Reveal Lehrerbedarf

• Zahl der Schüler nimmt bis 2026 zu
• Zahl der Mathematiklehrkräfte nimmt ab
• Bildung des Verhältnis Schüler pro Mathematiklehrer
• Eine Lehrperson muss im Jahr 2026 mehr Schüler betreuen als im Jahr 2022
• mögliche Folge: Qualitätsverlust im Mathematikunterricht
• Bildungspolitiker sollten daher handeln

Bewertung und Optimierung

Kritik: Sättigungsgrenze $S$ als geschätzter Wert ungenau

→ Optimierung: Die Konstante $S$ wird durch $S_{t}$ ersetzt

Also: $f(t)={\frac {f(0)\cdot S}{f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}}$ ⇒ $f(t)={\frac {f(0)\cdot S_{t}}{f(0)+(S_{t}-f(0))\cdot e^{-S_{t}\cdot k\cdot t}}}$

$f(t)={\frac {f(0)\cdot S_{t}}{f(0)+(S_{t}-f(0))\cdot e^{-S_{t}\cdot k\cdot t}}}$

Dabei ist $S_{t}=EW_{t}\cdot MD_{t}\cdot MRP_{t}$

• $EW_{t}$: Zahl der Einwohner in den Herkunftsländern zum Zeitpunkt $t$ (in diesem Zyklus: 310.416.000)
• $MD_{t}$: Anteil der Migranten, die zum Zeitpunkt $t$ nach Deutschland wandern (in diesem Zyklus: 20%)
• $MRP_{t}$: Anteil der Migranten, die zum Zeitpunkt $t$ nach Rheinland-Pfalz wandern (in diesem Zyklus: 5%)

• Einwohnerzahlen sind keine statischen Größen
• Anteile der Migranten, die nach Deutschland $MD_{t}$ oder Rheinland-Pfalz $MRP_{t}$ wandern, sind ebenfalls nicht konstant
• Schwankungen durch Faktoren wie Klimawandel, Naturkatastrophen, politischer Lage oder Krieg

Es wurden folgende Aspekte nicht berücksichtigt:

• Kinder, die in Rheinland-Pfalz geboren sind und vor Eintritt in die Sekundarstufe abwandern (z.B. in andere Bundesländer)
• Kinder und ältere Menschen migrieren deutlich weniger

→ repräsentativ werden die Zahlen der Bevölkerungspyramide für die Altersstruktur genommen, obwohl das nicht der Altersstruktur der Migranten entspricht

• Gewichtung des Mittelwertes (arithmetisches Mittel verwendet)
• Migranten aus verschiedenen Herkunftsländern können sich unterschiedlich auf die Bundesländer verteilen

Siehe auch

• Wiki2Reveal

Seiteninformation

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• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.