Die wesentlichen Eigenschaften der durch induzierten Matrixnormen u.a. im Zusammenhang mit dem Spektrum sind im Folgenden zusammengefasst.
Definition - Spektrum[Bearbeiten]
Für eine Matrix nennt man
das Spektrum und
den Spektralradius von .
Bemerkung - Eigenwerte und Eigenvektor[Bearbeiten]
Eigenvektoren zusammen mit dem zugehörigen Eigenvektor sind wesentlich, um eine lineare Abbildung (Endomorphismus allein durch eine Linearkombination von gestreckt und gestauchten Eigenvektoren darzustellen (siehe Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung)
Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm[Bearbeiten]
Sei . Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm gilt
Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm[Bearbeiten]
Für den Beweis wird Eigenschaft, dass ein Eigenwert zu einem Eigenvektor ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes gegen den Spektralradius abzuschätzen.
Sei Eigenvektor zum Eigenwert einer Matrix , d. h.
Mit der zugehörigen Vektornorm gilt dann
Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung.
q.e.d.
Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm[Bearbeiten]
Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen und induzierten Matrixnormen bzw. gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind.
Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm[Bearbeiten]
Für und die durch die Vektornormen und induzierten Matrixnormen bzw. gilt
- (Zeilensummennorm),
- (Spaltensummennorm).
Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm[Bearbeiten]
Die Beweise der Gleichheit "" für die Zeilensummennorm bzw. Spaltensummennorm wird jeweils in zwei Teilaussagen "" und "" zerlegt. Für die Zeilensummennorm bedeutet das:
Beweis 1.1 - Zeilensummennorm[Bearbeiten]
Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für gilt
Beweis 1.2 - Zeilensummennorm[Bearbeiten]
Somit erghält man
und die folgende Abschätzung:
folgt.
Beweis 1.3 - Zeilensummennorm[Bearbeiten]
Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei beliebig, aber fest gewählt. Für mit
gilt dann .
Beweis 1.4 - Zeilensummennorm[Bearbeiten]
Somit hat man
Da beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für .
Beweis 2.1 - Spaltensummennorm[Bearbeiten]
In dem nächsten Beweisteil werden wieder zwei Ungleichungen gezeigt, die zusammen die Aussage für die Spaltensummennorm liefern:
Beweis 2.2 - Spaltensummennorm[Bearbeiten]
Nun gilt weiter für
Beweis 2.3 - Spaltensummennorm[Bearbeiten]
Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor erhält man dann
Damit folgt auch die behauptete Darstellung von .
q.e.d.
Bemerkung - Reeller Fall[Bearbeiten]
Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall . Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man
Korollar - Reeller Fall[Bearbeiten]
Für Matrizen gilt
Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall[Bearbeiten]
Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung.
Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm[Bearbeiten]
Sei . Für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm gilt:
Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm[Bearbeiten]
Es ist eine symmetrische und wegen
positiv semi-definite Matrix.
Beweis - 1 - Eigenwerte[Bearbeiten]
Somit besitzt Eigenwerte und gibt es zu ein System von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist
und
- .
Für gilt daher mit der Darstellung
In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor zu einem maximalen Eigenwert von angenommen, denn
Damit ist alles bewiesen.
q.e.d.
Bemerkung - Spektralnorm[Bearbeiten]
Die Matrixnorm bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen.
Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen[Bearbeiten]
Sei eine symmetrische Matrix, d. h. . Dann gilt
Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm gilt
Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen[Bearbeiten]
Wegen gilt und daher aufgrund der Symmetrie von
Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4).
Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm[Bearbeiten]
Die symmetrische Matrix
besitzt die Eigenwerte , so dass folgt:
Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm[Bearbeiten]
Weiter hat man . Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen.
Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen[Bearbeiten]
Für die nicht symmetrische Matrix , definiert durch
gilt offenbar und . Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann.
Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm[Bearbeiten]
Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen.
Satz - Abschätzung für die Spektralnorm[Bearbeiten]
Für jede Matrix gilt
wobei die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei.
Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm[Bearbeiten]
Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man
Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm[Bearbeiten]
Dabei wurde für die zweite Abschätzung die Cauchy-Schwarz-Ungleichung verwendet:
für alle . q.e.d.
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