Die wesentlichen Eigenschaften der durch induzierten Matrixnormen u.a. im Zusammenhang mit dem Spektrum sind im Folgenden zusammengefasst.
Für eine Matrix nennt man
das Spektrum und
den Spektralradius von .
Bemerkung - Eigenwerte und Eigenvektor
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Eigenvektoren zusammen mit dem zugehörigen Eigenvektor sind wesentlich, um eine lineare Abbildung (Endomorphismus allein durch eine Linearkombination von gestreckt und gestauchten Eigenvektoren darzustellen (siehe Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung)
Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm
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Sei . Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm gilt
Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm
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Für den Beweis wird Eigenschaft, dass ein Eigenwert zu einem Eigenvektor ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes gegen den Spektralradius abzuschätzen.
Sei Eigenvektor zum Eigenwert einer Matrix , d. h.
Mit der zugehörigen Vektornorm gilt dann
Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung.
q.e.d.
Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm
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Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen und induzierten Matrixnormen bzw. gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind.
Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm
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Für und die durch die Vektornormen und induzierten Matrixnormen bzw. gilt
- (Zeilensummennorm),
- (Spaltensummennorm).
Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm
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Die Beweise der Gleichheit "" für die Zeilensummennorm bzw. Spaltensummennorm wird jeweils in zwei Teilaussagen "" und "" zerlegt. Für die Zeilensummennorm bedeutet das:
Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für gilt
Somit erghält man
und die folgende Abschätzung:
folgt.
Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei beliebig, aber fest gewählt. Für mit
gilt dann .
Somit hat man
Da beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für .
In dem nächsten Beweisteil werden wieder zwei Ungleichungen gezeigt, die zusammen die Aussage für die Spaltensummennorm liefern:
Nun gilt weiter für
Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor erhält man dann
Damit folgt auch die behauptete Darstellung von .
q.e.d.
Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall . Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man
Für Matrizen gilt
Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall
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Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung.
Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm
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Sei . Für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm gilt:
Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm
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Es ist eine symmetrische und wegen
positiv semi-definite Matrix.
Somit besitzt Eigenwerte und gibt es zu ein System von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist
und
- .
Für gilt daher mit der Darstellung
In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor zu einem maximalen Eigenwert von angenommen, denn
Damit ist alles bewiesen.
q.e.d.
Die Matrixnorm bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen.
Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen
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Sei eine symmetrische Matrix, d. h. . Dann gilt
Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm gilt
Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen
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Wegen gilt und daher aufgrund der Symmetrie von
Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4).
Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm
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Die symmetrische Matrix
besitzt die Eigenwerte , so dass folgt:
Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm
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Weiter hat man . Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen.
Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen
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Für die nicht symmetrische Matrix , definiert durch
gilt offenbar und . Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann.
Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm
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Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen.
Satz - Abschätzung für die Spektralnorm
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Für jede Matrix gilt
wobei die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei.
Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm
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Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man
Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm
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Dabei wurde für die zweite Abschätzung die Cauchy-Schwarz-Ungleichung verwendet:
für alle . q.e.d.
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