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Kurs:Numerik I/Matrixnorm und Spektrum

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Einleitung

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Die wesentlichen Eigenschaften der durch induzierten Matrixnormen u.a. im Zusammenhang mit dem Spektrum sind im Folgenden zusammengefasst.

Definition - Spektrum

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Für eine Matrix nennt man

das Spektrum und

den Spektralradius von .

Bemerkung - Eigenwerte und Eigenvektor

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Eigenvektoren zusammen mit dem zugehörigen Eigenvektor sind wesentlich, um eine lineare Abbildung (Endomorphismus allein durch eine Linearkombination von gestreckt und gestauchten Eigenvektoren darzustellen (siehe Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung)

Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm

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Sei . Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm gilt

Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm

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Für den Beweis wird Eigenschaft, dass ein Eigenwert zu einem Eigenvektor ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes gegen den Spektralradius abzuschätzen.

Beweis - 1

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Sei Eigenvektor zum Eigenwert einer Matrix , d. h.

Beweis - 2

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Mit der zugehörigen Vektornorm gilt dann

Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung.

q.e.d.

Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm

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Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen und induzierten Matrixnormen bzw. gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind.

Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm

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Für und die durch die Vektornormen und induzierten Matrixnormen bzw. gilt

  • (Zeilensummennorm),
  • (Spaltensummennorm).

Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm

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Die Beweise der Gleichheit "" für die Zeilensummennorm bzw. Spaltensummennorm wird jeweils in zwei Teilaussagen "" und "" zerlegt. Für die Zeilensummennorm bedeutet das:

Beweis 1.1 - Zeilensummennorm

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Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für gilt

Beweis 1.2 - Zeilensummennorm

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Somit erghält man

und die folgende Abschätzung:

folgt.

Beweis 1.3 - Zeilensummennorm

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Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei beliebig, aber fest gewählt. Für mit

gilt dann .

Beweis 1.4 - Zeilensummennorm

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Somit hat man

Da beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für .

Beweis 2.1 - Spaltensummennorm

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In dem nächsten Beweisteil werden wieder zwei Ungleichungen gezeigt, die zusammen die Aussage für die Spaltensummennorm liefern:

Beweis 2.2 - Spaltensummennorm

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Nun gilt weiter für

Beweis 2.3 - Spaltensummennorm

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Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor erhält man dann

Damit folgt auch die behauptete Darstellung von .

q.e.d.

Bemerkung - Reeller Fall

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Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall . Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man

Korollar - Reeller Fall

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Für Matrizen gilt

Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall

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Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung.

Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm

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Sei . Für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm gilt:

Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm

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Es ist eine symmetrische und wegen

positiv semi-definite Matrix.

Beweis - 1 - Eigenwerte

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Somit besitzt Eigenwerte und gibt es zu ein System von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist

und

.


Beweis - 2

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Für gilt daher mit der Darstellung

Beweis - 2

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In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor zu einem maximalen Eigenwert von angenommen, denn

Damit ist alles bewiesen.

q.e.d.

Bemerkung - Spektralnorm

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Die Matrixnorm bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen.

Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen

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Sei eine symmetrische Matrix, d. h. . Dann gilt

Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm gilt

Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen

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Wegen gilt und daher aufgrund der Symmetrie von

Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4).

q.e.d.

Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm

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Die symmetrische Matrix

besitzt die Eigenwerte , so dass folgt:

Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm

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Weiter hat man . Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen.

Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen

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Für die nicht symmetrische Matrix , definiert durch

gilt offenbar und . Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann.

Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm

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Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen.

Satz - Abschätzung für die Spektralnorm

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Für jede Matrix gilt

wobei die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei.

Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm

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Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man

Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm

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Dabei wurde für die zweite Abschätzung die Cauchy-Schwarz-Ungleichung verwendet:

für alle . q.e.d.


Siehe auch

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