Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume

Einleitung[Bearbeiten]

Diese Seite kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.

Zielsetzung[Bearbeiten]

Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, den Begriff der reellwertigen Zufallsvariable mit dem Wertebereich $\mathbb {R}$ zu verallgemeinern und mit einer Zufallsvariable $X:\Omega \to V$ einem Ergebnis $\omega \in \Omega$ ein Element $X(\omega )\in V$ zuordnet. Dabei kann $V$ natürlich klassisch ein mehrdimensionale reellwertiger^[1] Vektorraum $V:=\mathbb {R} ^{n}$ oder auch ein Funktionenraum $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ sein.

Einführendes Beispiel[Bearbeiten]

Die Zufallsvariable $X:\Omega \to V$ ordnet einem Ergebnis $\omega \in \Omega$ ein Funktion $v:=X(\omega )\to V$ zu. $v:[a,b]\to \mathbb {R}$ . Die Funktion $v\in {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ entspricht einer Messung, die mit $v$ z.B. jeder Drehzahl $d\in [a,b]$ eine bestimmte $CO_{2}$ -Emission $v(d)$ zuordnet.

Funktionen als Versuchsergebnis[Bearbeiten]

Der Graph der Funktion $v:[a,b]\to \mathbb {R}$ ein funktionswertiges Ergebnis einer Zufallsgröße $X(\omega )=v$ . Ein Beispiel eines konkreten Ergebnisses der Zufallsgröße mit $[a,b]=[1,7]$ wird im Folgenden als Graph dargestellt.

Ein weiteres Messergebnis liefert dann ggf. einen anderen Graph.

Interpretation des Graphen[Bearbeiten]

Auf der $x$ -Achse ist dann eine Drehzahl angegeben. $d=2$ bedeutet dann z.B. 2000 Umdrehungen pro Minute und $v(d)$ entspricht dann der gemessenen $CO_{2}$ -Emission zur Drehzahl $d$ . Der gesamte Graph von $v$ ist dann ein gemessenes Ergebnis in dem Vektorrraum $V$ .

Verteilung auf Funktionenräumen[Bearbeiten]

In diesem Beispiel wird des Funktionenraum $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ des stetigen Funktionen von dem Intervall $[a,b]$ in die reellen Zahl $\mathbb {R}$ als topologischer Vektorraum betrachtet. In Analogie zu eindimensionalen reellwertigen Zufallsvariablen mit $X(\omega )\in \mathbb {R}$ werden nun

Erwartungswerte in Funktionenräumen und
Varianz in Funktionenräumen betrachtet

Diskrete Verteilung auf Funktionenräumen[Bearbeiten]

Zunächst werden diskrete endliche Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Funktionenräumen betrachtet. Im einfachsten Fall ist die Verteilung eine diskrete Gleichverteilung. Es werden in diesem Beispiel 4 Versuche $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4}\in \Omega$ durchgeführt. $v_{k}:=X(\omega _{k})\in V$ entspricht dann vier verschiedenen Graphen von Funktionen.

Beispiele für zugeordnete Funktionen[Bearbeiten]

$v_{1}:=X(\omega _{1})$ mit $v_{1}(d):=sin(d)$
$v_{2}:=X(\omega _{2})$ mit $v_{2}(d):=cos(d)$
$v_{3}:=X(\omega _{3})$ mit $v_{3}(d):={\frac {d^{2}}{5}}-1$
$v_{4}:=X(\omega _{4})$ mit $v_{4}(d):={\frac {d^{3}}{10}}$

Veranschaulichung der Funktionen[Bearbeiten]

Definition - funktionswertiger Erwartungswert[Bearbeiten]

Sei $V\subseteq {\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {R} )$ ein topologischer Funktionenvektorraum mit Topologie ${\mathcal {T}}$ , dem Definitionsbereich $\mathbb {D}$ und dem Wertebereich $\mathbb {R}$ . Ferner sei $(\Omega ,P)$ diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Dann sei $X:\Omega \to V$ eine Zufallsvariable in $V$ , dann heißt

E(X)=\sum _{\omega \in \Omega }X(\omega )\cdot P(\lbrace \omega \rbrace )=\sum _{v\in X(\Omega )}v\cdot P(X=v)

Erwartungswert von $X:\Omega \to V$ , vorausgesetzt, dass $\sum _{v\in X(\Omega )}|v|\cdot P(X=v)$ mit $|v|\in V$ als Folge der Partialsummen im topologischen Vektorraum $V$ konvergiert.

Bemerkung - Induzierte Verteilung[Bearbeiten]

In der Definition kann man aber auch die Notation der induzierten Verteilung P_X:\mathcal{B} \to [0,1] verwenden:

E(X)=\sum _{v\in X(\Omega )}v\cdot P(X=v)=\sum _{v\in X(\Omega )}v\cdot P_{X}(\lbrace v\rbrace )

Dabei entspricht für $X:\Omega \to V$ die Notation $(X=v)$ einer messbaren Menge $A\in {\mathcal {S}}$ aus der $\sigma$ -Algebra ${\mathcal {S}}$ mit

A:=\{\omega \in \Omega \,:\,X(\omega )=v\}

Bemerkung - Betrag einer Funktion[Bearbeiten]

Stellt der Erwartungswert eine unendliche Reihe mit einem abzählbaren Träger dar, so entspricht die Reihe der Folge der Partialsummen. Die Partialsumme der Reihe sind endlich und damit wohldefinierte Elemente aus $V$ . Es entsteht eine Folge und diese Folge der Funktionen müssen "absolut konvergieren". Dabei verlangt man, dass $|v|\in V$ mit $|v|:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$ mit $|v|(d):=|v(d)|$ für alle $d\in \mathbb {D}$

Bemerkung - Erwartungsfunktion[Bearbeiten]

Für die Erwartungsfunktion benötigte man als algebraische Verknüpfung bei einer diskreten Verteilung die innere und äußere Verknüfung auf dem Funktionenraum $V$ als topologischem Vektorraum.

die äußere Verknüpfung der Multiplikation mit Skalare $\cdot :\mathbb {R} \times V\to V$ für Multiplikation einer Wahrscheinlichkeit mit einem Skalar und
die innere Verknüpfung $+:V\times V\to V$ für Addition der skalar gestreckte/gestauchten Funktionen mit der Wahrscheinlichkeit.

Bemerkung - Erwartungswert als Linearkombination[Bearbeiten]

$E(X)$ ist im mit einem endlichen Träger von $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ eine Linearkombination in $V$ , da die Wahrscheinlichkeiten Skalare in $\mathbb {R}$ und $X(\omega )$ als Funktionen Vektoren im dem Vektorraum $V$ sind. Da sich die Skalare/Wahrscheinlichkeiten nicht-negativ und die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergibt, handelt es sich sogar um eine Konvexkombination.

Anwendung auf das Beispiel - Funktionenraum[Bearbeiten]

Zunächst erhält man bei endlicher Gleichverteilung auf den Träger $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ folgende elementare Wahrscheinlichkeitsverteilung.

P(X=v_{1})=P(X=v_{2})=P(X=v_{3})=P(X=v_{4})={\frac {1}{4}}

Damit ergibt sich für den Erwartungswert die folgende Darstellung: $E(X)=\sum _{v\in X(\Omega )}v\cdot P(X=v)=\sum _{k=1}^{4}v_{k}\cdot {\frac {1}{4}}$

Erwartungswert als Graph einer Funktion[Bearbeiten]

Als Konvexkombination/Linearkombination im Funktionenraum ist der Erwartungswert $E(X)\in V$ selbst eine Funktion. Die vier Einzelfunktionen $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ sind nun in grau geplottet und die Erwartungswert als Funktion $e\in V$ in rot.

Varianzfunktion[Bearbeiten]

Die Erwartungsfunktion $E(X)$ mit einer Zufallsvariable $X:\Omega \to V$ in einen reellwertigen Funktionenraum $V$ dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung $P_{X}$ von $X$ . Wir definieren nun eine Streuungsfunktion als Maß der Abweichung der Verteilung $P_{X}$ von der Erwartungsfunktion.

Definition - Varianzfunktion[Bearbeiten]

Ist $X:\Omega \to V$ Zufallsvariable auf $(\Omega ,P,{\mathcal {S}})$ und liefert $E(X^{2})\in V$ eine wohldefinierte Funktion in dem reellwertigen Funktionenalgebra $V$ , so heißt $Var(X)=E((X-E(X))^{2})=E(X^{2})-E(X)^{2}$ Varianzfunktion von $X$ , und $\sigma (X)={\sqrt {Var(X)}}$ Standardabweichung von $X$ .

Bemerkung - Varianzfunktion[Bearbeiten]

inneren und äußeren Verknüpfungen auf einem topologischen Vektorraum auch eine Multiplikation als innere Verknüpfung bei einer diskreten Verteilung auf dem Funktionenraum $V$ und damit eine topologische Algebra.

äußere Verknüpfung der Multiplikation mit Skalare $\cdot :\mathbb {R} \times V\to V$ für Multiplikation einer Funktion mit einer Wahrscheinlichkeit/Skalar und
die innere Verknüpfung $+:V\times V\to V$ für Addition der skalar gestreckte/gestauchten Funktionen mit der Wahrscheinlichkeit.
innere multiplikative Verknüpfung $\cdot :V\times V\to V$

Bemerkung - Multiplikation in einem reellwertigen Funktionenraum[Bearbeiten]

Sei $V\subseteq {\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {R} )$ ein topologischer Funktionenvektorraum mit Topologie ${\mathcal {T}}$ , dem Definitionsbereich $\mathbb {D}$ und dem Wertebereich $\mathbb {R}$ .

$f,g\in V$ ist eine Funktion $f:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$
$f\cdot g\in V$ ist ebenfalls eine Funktion $f\cdot g:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$ mit $(f\cdot g)(d):=f(d)\cdot g(d)\in \mathbb {R}$

Bemerkung - Quadrat einer Zufallsvariable im Funktionenraum[Bearbeiten]

Sei $V\subseteq {\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {R} )$ ein topologischer Funktionenvektorraum mit Topologie ${\mathcal {T}}$ , dem Definitionsbereich $\mathbb {D}$ und dem Wertebereich $\mathbb {R}$ .

$f:=X(\omega )\in V$ ist eine Funktion $f:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$
$f^{2}:=X(\omega )^{2}\in V$ ist ebenfalls eine Funktion $f^{2}:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$ mit $f^{2}(d):=(f(d))^{2}\in \mathbb {R}$

Varianz - diskrete Verteilung auf Funktionenraum[Bearbeiten]

Ferner sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Dann sei $X:\Omega \to V$ eine Zufallsvariable in $V$ , dann heißt

Var(X)=\sum _{\omega \in \Omega }(X(\omega )-E(X))^{2}\cdot P(\lbrace \omega \rbrace )=\sum _{v\in X(\Omega )}(v-E(X))^{2}\cdot P(X=v)

Varianzfunktion von $X:\Omega \to V$ , vorausgesetzt, dass $\sum _{v\in X(\Omega )}|v|^{2}\cdot P(X=v)$ mit $|v|^{2}\in V$ als Folge der Partialsummen im topologischen Vektorraum $V$ konvergiert

Aufgaben für Studierende[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Varianzfunktion $v:=Var(X)$ in dem obigen Beispiel und plotten Sie diese in Geogebra.
Übertragen Sie das obige Beispiel in Geogebra und plotten Sie mit $e:=E(X)$ die beiden Funktionen $e-v$ und $e+v$ und interpretieren Sie, welche Aussage die Varianzfunktion über die endliche diskrete Verteilung im Funktionenraum macht!

Varianzfunktion[Bearbeiten]

Die folgende Abbildung zeigt die Varianzfunktion in blauer Farbe und die Erwartungsfunktion in rot.

Varianzumgebung um die Erwartungsfunktion[Bearbeiten]

Die Streuung um die Erwartungfunktion ist bei reellenwertigen Zufallsgrößen bekannt (wie z.B. bei der Normalverteilung). Mit der Varianzfunktion entsteht eine Varianzumgebung mit $E(X)-Var(X)\in V$ und $E(X)+Var(X)\in V$ um die Erwartungsfunktion.

Graphische Darstellung der Varianzumgebung[Bearbeiten]

Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File

Legende[Bearbeiten]

grau sind die Funktionen $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ markiert, von denen die Erwartungsfunktion $e\in V$ und die Varianzfunktion $v\in V$ gebildet werden.
$e\in V$ rot ist die Erwartungsfunktion
blau gepunkte ist berechnete Varianzfunktion $v\in V$ markiert
blau ist $v_{+}:=E(X)+Var(X)\in V$ als obere Grenze der Varianzumgebung markiert
blau ist $v_{-}:=E(X)-Var(X)\in V$ als untere Grenze der Varianzumgebung markiert

Bemerkung - Umgebungen in Funktionenräumen[Bearbeiten]

Durch die blau markierten Funktionen $v_{+}:=E(X)+Var(X)\in V$ als obere Grenze und $v_{-}:=E(X)-Var(X)\in V$ als untere Grenze wird eine Umgebung im Funktionenraum definiert. Eine Funktion $f\in V$ ist ein Element dieser Umgebung, wenn $f(d)<v_{+}(d)$ und $f(d)>v_{-}(d)$ für alle $d\in \mathbb {D}$ gilt, d.h. dass der Funktiongraph von $f$ in dem von dem $v_{+}$ und $v_{-}$ einschachtelten Bereich im $\mathbb {R} ^{2}$ verläuft.