Für -Normen in -Regularitätsbeweisen bzw. -Halbormen beim Nachweis der PC-Regularität benötigt man als absorbierende Mengen eine absolute -konvexe Menge. Diese Verallgemeinerung von konvexen Mengen auf pseudokonvexe Räume benötigt den Begriff der (absolute) -konvexen Hülle (siehe Köthe 1966[1]).
Definition: p-konvex[Bearbeiten]
Sei eine Teilmenge eines Vektorraums und , dann heißt -konvex, wenn gilt
Definition: absolut p-konvex[Bearbeiten]
Sei eine Teilmenge eines Vektorraums und , dann heißt absolut -konvex, wenn gilt
Definition: p-konvexe Hülle[Bearbeiten]
Die -konvexe Hülle der Menge (Bezeichnung: ) ist der Schnitt über alle -konvexen Mengen, die enthalten.
Definition: absolut p-konvexe Hülle[Bearbeiten]
Die absolut -konvexe Hülle der Menge (Bezeichnung: )
ist der Schnitt über alle absolut -konvexen Mengen, die enthalten.
Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle[Bearbeiten]
Sei eine Teilmenge eines Vektorraums über dem Körper und , dann lässt sich die absolut -konvexe Hülle von wie folgt schreiben:
Es werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2) liefert und (3) die Teilmengenbeziehung .
- (Beweisteil 1) ,
- (Beweisteil 2) ist absolut -konvex und
- (Beweisteil 3) ist in jeder absolut -konvexen Menge enthalten.
, denn
Seien nun und gegeben. Man muss zeigen, dass liegt.
Beweisteil 2.1 - Absolut p-konvex[Bearbeiten]
Mit sollen nun die folgende Darstellungen haben:
- mit
- mit
Man zeigt nun das absolut -konvex ist-
Beweisteil 2.2 - Absolut p-konvex[Bearbeiten]
ist absolut -konvex, denn es gilt mit :
Damit erhält man:
Beweisteil 2.3 - Nullvektor[Bearbeiten]
, denn es gilt mit und ein beliebiges erhält .
Wir zeigen nun, dass die absolut -konvexe Hülle in jeder absolut -konvexen Obermenge von enthalten ist.
Beweisteil 3.1 - Induktion über Anzahl der Summanden[Bearbeiten]
Nun soll induktiv über die Anzahl der Summanden gezeigt werden, dass jedes Element der Form
in einer gegebenen absolut -konvexen Menge enthalten ist.
Beweisteil 3.2 - Induktionsanfang[Bearbeiten]
Für folgt die Behauptung über die Definition einer absolut -konvexen Menge .
Beweisteil 3.3 - Induktionsvoraussetzung[Bearbeiten]
Nun gelte die Voraussetzung für , d.h.:
Beweisteil 3.4 - Induktionsschritt[Bearbeiten]
Für ergibt sich die Behauptung wie folgt:
Sei und mit für alle . ist nun zu beweisen.
Beweisteil 3.5 - Induktionsschritt[Bearbeiten]
Ist , so ist nichts zu zeigen, da dann alle sind für .
Beweisteil 3.6 - Konstruktion einer p-Konvexkombination aus n Summanden[Bearbeiten]
Wir konstruktruieren nun eine Summe von nicht-negativen Summanden
Beweisteil 3.7 - Anwendung der Induktionsvoraussetzung[Bearbeiten]
Sei also . Die Ungleichung
liefert nach Induktionsvoraussetzung .
Beweisteil 3.8 - Induktionsschritt[Bearbeiten]
Da absolut -konvex ist, folgt mit
Aus den Beweisteilen , und zusammen folgt die Behauptung.
Lemma: p-konvexe Hülle[Bearbeiten]
Sei eine Teilmenge eines Vektorraums über dem Körper und , dann lässt sich die -konvexe Hülle von wie folgt schreiben:
Beweis: Aufgabe für Lernende[Bearbeiten]
Übertragen Sie den obigen Beweis analog auf die -konvexe Hülle.
- ↑ Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.
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