Für -Normen in -Regularitätsbeweisen bzw. -Halbormen beim Nachweis der PC-Regularität benötigt man als absorbierende Mengen eine absolute -konvexe Menge. Diese Verallgemeinerung von konvexen Mengen auf pseudokonvexe Räume benötigt den Begriff der (absolute) -konvexen Hülle (siehe Köthe 1966[1]).
Sei eine Teilmenge eines Vektorraums und , dann heißt -konvex, wenn gilt
Sei eine Teilmenge eines Vektorraums und , dann heißt absolut -konvex, wenn gilt
Die -konvexe Hülle der Menge (Bezeichnung: ) ist der Schnitt über alle -konvexen Mengen, die enthalten.
Die absolut -konvexe Hülle der Menge (Bezeichnung: )
ist der Schnitt über alle absolut -konvexen Mengen, die enthalten.
Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle
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Sei eine Teilmenge eines Vektorraums über dem Körper und , dann lässt sich die absolut -konvexe Hülle von wie folgt schreiben:
Es werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2) liefert und (3) die Teilmengenbeziehung .
- (Beweisteil 1) ,
- (Beweisteil 2) ist absolut -konvex und
- (Beweisteil 3) ist in jeder absolut -konvexen Menge enthalten.
, denn
Seien nun und gegeben. Man muss zeigen, dass liegt.
Mit sollen nun die folgende Darstellungen haben:
- mit
- mit
Man zeigt nun das absolut -konvex ist-
ist absolut -konvex, denn es gilt mit :
Damit erhält man:
, denn es gilt mit und ein beliebiges erhält .
Wir zeigen nun, dass die absolut -konvexe Hülle in jeder absolut -konvexen Obermenge von enthalten ist.
Beweisteil 3.1 - Induktion über Anzahl der Summanden
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Nun soll induktiv über die Anzahl der Summanden gezeigt werden, dass jedes Element der Form
in einer gegebenen absolut -konvexen Menge enthalten ist.
Für folgt die Behauptung über die Definition einer absolut -konvexen Menge .
Beweisteil 3.3 - Induktionsvoraussetzung
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Nun gelte die Voraussetzung für , d.h.:
Für ergibt sich die Behauptung wie folgt:
Sei und mit für alle . ist nun zu beweisen.
Ist , so ist nichts zu zeigen, da dann alle sind für .
Beweisteil 3.6 - Konstruktion einer p-Konvexkombination aus n Summanden
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Wir konstruktruieren nun eine Summe von nicht-negativen Summanden
Beweisteil 3.7 - Anwendung der Induktionsvoraussetzung
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Sei also . Die Ungleichung
liefert nach Induktionsvoraussetzung .
Da absolut -konvex ist, folgt mit
Aus den Beweisteilen , und zusammen folgt die Behauptung.
Sei eine Teilmenge eines Vektorraums über dem Körper und , dann lässt sich die -konvexe Hülle von wie folgt schreiben:
Übertragen Sie den obigen Beweis analog auf die -konvexe Hülle.
- ↑ Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.
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