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Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle

Aus Wikiversity

Einführung

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Für -Normen in -Regularitätsbeweisen bzw. -Halbormen beim Nachweis der PC-Regularität benötigt man als absorbierende Mengen eine absolute -konvexe Menge. Diese Verallgemeinerung von konvexen Mengen auf pseudokonvexe Räume benötigt den Begriff der (absolute) -konvexen Hülle (siehe Köthe 1966[1]).

Definition: p-konvex

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Sei eine Teilmenge eines Vektorraums und , dann heißt -konvex, wenn gilt

Definition: absolut p-konvex

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Sei eine Teilmenge eines Vektorraums und , dann heißt absolut -konvex, wenn gilt

Definition: p-konvexe Hülle

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Die -konvexe Hülle der Menge (Bezeichnung: ) ist der Schnitt über alle -konvexen Mengen, die enthalten.

Definition: absolut p-konvexe Hülle

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Die absolut -konvexe Hülle der Menge (Bezeichnung: ) ist der Schnitt über alle absolut -konvexen Mengen, die enthalten.

Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle

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Sei eine Teilmenge eines Vektorraums über dem Körper und , dann lässt sich die absolut -konvexe Hülle von wie folgt schreiben:

Beweis

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Es werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2) liefert und (3) die Teilmengenbeziehung .

  • (Beweisteil 1) ,
  • (Beweisteil 2) ist absolut -konvex und
  • (Beweisteil 3) ist in jeder absolut -konvexen Menge enthalten.

Beweisteil 1

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, denn

Beweisteil 2

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Seien nun und gegeben. Man muss zeigen, dass liegt.

Beweisteil 2.1 - Absolut p-konvex

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Mit sollen nun die folgende Darstellungen haben:

  • mit
  • mit

Man zeigt nun das absolut -konvex ist-


Beweisteil 2.2 - Absolut p-konvex

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ist absolut -konvex, denn es gilt mit :

Damit erhält man:

Beweisteil 2.3 - Nullvektor

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, denn es gilt mit und ein beliebiges erhält .

Beweisteil 3

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Wir zeigen nun, dass die absolut -konvexe Hülle in jeder absolut -konvexen Obermenge von enthalten ist.

Beweisteil 3.1 - Induktion über Anzahl der Summanden

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Nun soll induktiv über die Anzahl der Summanden gezeigt werden, dass jedes Element der Form

in einer gegebenen absolut -konvexen Menge enthalten ist.

Beweisteil 3.2 - Induktionsanfang

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Für folgt die Behauptung über die Definition einer absolut -konvexen Menge .

Beweisteil 3.3 - Induktionsvoraussetzung

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Nun gelte die Voraussetzung für , d.h.:

Beweisteil 3.4 - Induktionsschritt

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Für ergibt sich die Behauptung wie folgt:

Sei und mit für alle . ist nun zu beweisen.

Beweisteil 3.5 - Induktionsschritt

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Ist , so ist nichts zu zeigen, da dann alle sind für .

Beweisteil 3.6 - Konstruktion einer p-Konvexkombination aus n Summanden

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Wir konstruktruieren nun eine Summe von nicht-negativen Summanden

Beweisteil 3.7 - Anwendung der Induktionsvoraussetzung

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Sei also . Die Ungleichung

liefert nach Induktionsvoraussetzung .

Beweisteil 3.8 - Induktionsschritt

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Da absolut -konvex ist, folgt mit

Beweis 4

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Aus den Beweisteilen , und zusammen folgt die Behauptung.

Lemma: p-konvexe Hülle

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Sei eine Teilmenge eines Vektorraums über dem Körper und , dann lässt sich die -konvexe Hülle von wie folgt schreiben:

Beweis: Aufgabe für Lernende

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Übertragen Sie den obigen Beweis analog auf die -konvexe Hülle.


Siehe auch

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Quellennachweis

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  1. Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.

Seiteninformation

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Wiki2Reveal

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