Äquivalenzklassen/Logische Trennung/Z mod 2xZ mod 3/Aufgabe/Lösung

Die Äquivalenzklassen sind

$\{(0,0)\},\,\{(1,0)\},\,\{(0,1),(0,2)\},\,\{(1,1),(1,2)\}.$

Nach (dem Zusatz zu) Fakt sind Elemente, die unter einem Automorphismus aufeinander abgebildet werden, zueinander elementar äquivalent. Die Abbildung, die in der ersten Komponente die Identität und in der zweiten Komponente ${}1$ und ${}2$ vertauscht, ist ein Automorphismus. Daher sind die in den zweielementigen Klassen angegebenen Elemente zueinander elementar äquivalent. Es ist also noch zu zeigen, dass die vier Klassen voneinander trennbar sind. Die in der angegebenen Sprache formulierbare Eigenschaft ${}x=0$ wird nur durch das neutrale Element erfüllt und ist somit ein charakterisierender Ausdruck für ${}\{(0,0)\}$. Die Eigenschaft

$x\neq 0\wedge x+x=0$

charakterisiert die zweite Klasse. Die Eigenschaft

$x\neq 0\wedge x+x+x=0$

charakterisiert die dritte Klasse. Die Eigenschaft

$x+x\neq 0\wedge x+x+x\neq 0\wedge x+x+x+x+x+x=0$

(der letzte Teil der Konjunktion ist nicht nötig)

charakterisiert die vierte Klasse.

Zur gelösten Aufgabe