Äquivalenzklassen/Partition/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt/Beweis
Beweis
- Seien und äquivalent und . Dann ist und nach der Transitivität auch , also . Damit stimmen die Äquivalenzklassen überein. Die Implikation von der Mitte nach rechts ist klar, da wegen Äquivalenzklassen nicht leer sind. Es sei nun , und sei ein Element im Durchschnitt. Dann ist und und wegen der Transitivität ist .
- Wegen der Reflexivität ist und daher ist . Wegen Teil (1) ist die Vereinigung disjunkt.
- Die Surjektivität ist klar aufgrund der Definition der Quotientenmenge, und da auf die Klasse geschickt wird.
- Es ist
![{\displaystyle {}u\in [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a3f679c1338ecdd74dc980755d70d94a834c4d)
![{\displaystyle {}u\in [y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1404b09959e7352fd4601892564498fe1e85d25)
![{\displaystyle {}[x]\cap [y]\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8deabd43cb75143b1c1b9f06f0e36376615fbc8)
![{\displaystyle {}x\in [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e12337a925c460804120489ba31028dd0fadeff)
![{\displaystyle {}M=\bigcup _{[x]\in M/\sim }[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9668500885987f8eed93223ae4a06593789272d8)
![{\displaystyle {}[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c77e93ebf488c686ab4b8693c04bdaae7e8446c)
![{\displaystyle {}q^{-1}([x])={\left\{y\in M\mid q(y)=[x]\right\}}={\left\{y\in M\mid [y]=[x]\right\}}={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}=[x]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c95990773ef939c753fe33657ee8f74781384c2)