Äquivalenzklassen/Partition/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es seien $x$ und $y$ äquivalent und  $u\in [x]$.  Dann ist  $x\sim u$  und nach der Transitivität auch  $y\sim u$,  also  $u\in [y]$.  Damit stimmen die Äquivalenzklassen überein. Die Implikation von der Mitte nach rechts ist klar, da wegen  $x\sim x$  Äquivalenzklassen nicht leer sind. Es sei nun  $[x]\cap [y]\ne \mathrm{\varnothing }$,  und sei $z$ ein Element im Durchschnitt. Dann ist $x\sim z$ und $y\sim z$ und wegen der Transitivität ist  $x\sim y$. 
2. Wegen der Reflexivität ist  $x\in [x]$  und daher ist  $M=\bigcup _{[x]\in M/\sim }[x]$.  Wegen Teil (1) ist die Vereinigung disjunkt.
3. Die Surjektivität ist klar aufgrund der Definition der Quotientenmenge, und da $x$ auf die Klasse $[x]$ geschickt wird.
4. Es ist

   $q^{-1}([x])=\{y\in M\mid q(y)=[x]\}=\{y\in M\mid [y]=[x]\}=\{y\in M\mid y\sim x\}=[x].$

Zur bewiesenen Aussage