Äquivalenzklassen/Partition/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Seien und äquivalent und . Dann ist und nach der Transitivität auch , also . Damit stimmen die Äquivalenzklassen überein. Die Implikation von der Mitte nach rechts ist klar, da wegen Äquivalenzklassen nicht leer sind. Sei nun , und sei ein Element im Durchschnitt. Dann ist und und wegen der Transitivität ist .
  2. Wegen der Reflexivität ist und daher ist . Wegen Teil (1) ist die Vereinigung disjunkt.
  3. Die Surjektivität ist klar aufgrund der Definition der Quotientenmenge, und da auf die Klasse geschickt wird.
  4. Es ist