Äquivalenzrelation/Auf Produktmenge/Und und oder/Aufgabe

Es seien ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ Mengen und ${}\sim _{1}$ sei eine Äquivalenzrelation auf ${}M_{1}$ und ${}\sim _{2}$ sei eine Äquivalenzrelation auf ${}M_{2}$. Betrachte die Relation ${}\sim$ auf der Produktmenge ${}M_{1}\times M_{2}$, die durch

$(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2}),{\text{ falls }}a_{1}\sim _{1}b_{1}{\text{ und }}a_{2}\sim _{2}b_{2}{\text{ gilt}},$

definiert ist. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Zeige ferner, dass auf ${}M_{1}\times M_{2}$ die durch

$(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2}),{\text{ falls }}a_{1}\sim _{1}b_{1}{\text{ oder }}a_{2}\sim _{2}b_{2}{\text{ gilt}},$

definierte Relation keine Äquivalenzrelation ist.

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