Äquivalenzrelation/Verfeinerung/Quotientenmengen/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und seien ${}\sim _{1}$ und ${}\sim _{2}$ Äquivalenzrelationen auf ${}M$ mit den zugehörigen kanonischen Abbildungen

$p_{1}\colon M\longrightarrow Q_{1}$

und

$p_{2}\colon M\longrightarrow Q_{2}.$

Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\sim _{1}$ ist eine Verfeinerung von ${}\sim _{2}$.
2. Für die Äquivalenzklassen zu jedem Element ${}x\in M$ gilt ${}[x]_{1}\subseteq [x]_{2}$.
3. Es ist (als Teilmengen von ${}M\times M$)

   ${}\sim _{1}\subseteq \sim _{2}\,.$

4. Es gibt eine Abbildung

   $\psi \colon Q_{1}\longrightarrow Q_{2}$

   mit ${}\psi \circ p_{1}=p_{2}$.

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